1 球賽裡的機率

眾所周知的NBA(National Basketball Association)，乃北美(包括美國及加拿大)男子職業籃球聯盟，共有30支球隊。依球隊所在城市的地理位置，分東西兩區，每區各有15支球隊。每年依例行賽勝率排名，東西區各取8支球隊進入季後賽(因疫情的關係，自2020年起，各區例行賽的第7至10名要加打附加賽，以決定那兩隊成為能打季後賽的第7、8名)。季後賽依強對弱的原則，且採7戰4勝淘汰制。即第1輪進行每區排序第1對第8，第2對第7，第3對第6，第4對第5的系列賽，先獲4勝者晉級。每區進入第2輪的4支球隊，由第1輪第1對第8的勝隊，對上第4對第5的勝隊；第2對第7的勝隊，對上第3對第6的勝隊，兩支勝隊晉級第3輪。第3輪的7戰4勝後，產生的東、西區冠軍再對打，先贏4場的球隊，便是年度總冠軍。

NBA的每支球隊，每年均有兩個目標，第一是進入季後賽，第二是得到總冠軍。能進季後賽，大致表這季的成績及格；而獲得年度總冠軍，對球隊及球員，甚至球隊所屬城市之居民，皆為莫大的榮耀。整個季後賽可說高潮迭起，場場扣人心弦、勝負令人關切。若毫無資訊，則“相同可能性”的概念，當然能派上用場。即兩支球隊交手，可假設兩隊獲勝的機率皆相同，即各為1/2。至於30隊，則假設每隊得年度總冠軍之機率皆相同，即各為1/30。只是NBA歷年來各種數據收集極為齊全，一場比賽才剛結束，球隊或某位球員破了什麼紀錄，立刻公佈。齊全的數據，使在NBA的預測勝負時，相同可能性的想法，很少能用得上。

競爭激烈下，風光難以維持太久。2020年季後賽通過第1輪的8支球隊，2021年僅剩三隊闖過第1輪；而2020年，爭奪總冠軍賽的湖人與熱火兩隊，更在2021年首輪便皆被淘汰出局。除了球是圓的外，基於各種因素，如球員可能失常、主場與客場有別(球迷的掌聲與噓聲，相當程度地影響球員的心理)、球員可能因傷下場或缺賽(短者缺幾場，長者整個球季都無法上場)，再加上有時教練會讓主力球員輪休，因而球隊的表現，有很多不可測的因素。以2021年為例，NBA的例行賽，每隊皆打72場(通常打82場，此季因疫情減少)，30支球隊中，勝率最高的爵士隊輸了20場(贏52場，勝率約0.722)，輸的球隊中，不乏未進入季後賽者。至於勝率最低的火箭隊，仍贏了17場(勝率約0.236)，贏的球隊中，包括幾支強隊。可見再強的隊伍也沒有打不敗的，且再弱的隊伍也不見得完全不堪一擊。

不妨以簡單的投擲銅板為例。假設銅板A出現正面的機率為0.722，銅板B出現正面的機率為0.236。今各投擲1次，該如何預測出現的結果？預測銅板A出現正面，且銅板B出現反面，顯然極合理。但若有人鐵齒，預測銅板A出現反面呢？他有0.278的機率預測正確。此機率其實並非太小，約每3、4次便會有1次正確。現在來模仿NBA季後賽的晉級方式。投擲銅板A，要賭正面或反面先出現4次？不必想，便知該選正面。而且，由於賭對有4正、4正1反、4正2反，及4正3反等4種可能，且後3者的最後1次投擲須出現正面，利用排列組合，可求出贏的機率約為0.90068。超過9成的機率，算是相當高。但仍有約1成的機率會陰溝裡翻船。沒辦法，隨機現象就是如此。

球隊比賽與投擲銅板的情況當然大不相同。對於銅板，可耐操耐煩地讓人一再投擲，因而每次投擲出現正面的機率相同，且各次投擲間出現的結果相互獨立之假設，挑戰的人大概不會太多。至於球賽，不要說各場比賽對手不盡相同，且上場球員可能有異，就算對手及上場球員皆相同，球員的心理及體能等，也難維持不變。因而依前幾場球隊之表現及球員之近況，教練的戰術可能調整。即使球賽進行中，也隨時可能依戰況做調度。故對一特定的球隊，各場比賽獲勝的機率，難以假設皆相同，不同比賽間的結果，也難視為相互獨立。對一有兩個結果之隨機現象(如比賽有輸、贏，議題有支持、不支持等)，常以簡單的投擲銅板來模擬，已發展出不少令人讚嘆的理論，並廣泛應用。但實務上，很多情況與投擲銅板當然大異其趣。因而若引用投擲銅板的理論，誤差不要說難免，若不謹慎，得到極荒謬的結論乃不足為奇。

ESPN(Entertainment Sports Programming Network)是美國一個24小時專播體育節目的有線電視聯播網。2021年季後賽開打前，ESPN所找來18個專家之分析預測中，有17個認為西區第4種子快艇隊在6場內(即4：0、4：1，或4：2)，便會淘汰第5種子獨行俠隊，順利打進西區季後賽第2輪。一般認為，不論從球隊與球員的過往戰績，以及球隊的近況(所謂利用大數據)，此預測相當合理。那我們可以說，快艇淘汰獨行俠的機率為17/18(即約0.9444)嗎？並無不可。正如若投擲一銅板18次，出現17次正面1次反面，有人遂以正面出現數之“相對頻率”17/18，來估計銅板出現正面的機率。

投擲銅板是用同一個，這群專家卻是不同的人，有人指出此疑點。是沒錯，但比賽前，兩隊究竟何者會晉級，本來就只有天曉得，17/18的機率，乃基於18個專家的看法，這難道不是一還算客觀的估計嗎？此作法並非不合理，總比1個人瞎猜精準。那有其他估計快艇會進入第2輪的機率之預測方式嗎？也是有的。例如，在例行賽中，兩隊共交手3次，獨行俠取得2勝1敗的對戰優勢。獨行俠例行賽戰績雖不如快艇，或許打快艇卻特別有一套。若以1/3做為兩隊每次交手，快艇獲勝之機率，則快艇能晉級第2輪之機率，將由相當高的約0.9444降至僅379/2187，即約為0.1733。只是這樣的估計，很可能被會挑剔，因只憑交手少少的3次來估計，很難令人覺得夠精準。若兩隊曾對戰10次，此時以勝負結果來估計，準確度會被認為較高。

另外，說不定有人以為，進入季後賽便一切重來，他主觀地認定快艇與獨行俠能過關的機率相同，即皆為1/2。只是雖說主觀，他亦能講出其依據：快艇與獨行俠，例行賽在西區的排名分居4、5，差異不大，兩隊對戰的勝負為1：2，差異也不大。就算要說有差異，數據上顯示兩隊各一優一劣，算是平手。再加上快艇雖有雷納德及喬治兩大球星，獨行俠也有表現常如超人般的唐西奇，因而他覺得兩隊實力難分軒輊。可看出此君之估計雖說主觀，但也是跟據一些客觀的數據。

由上述討論知，即使擁有同樣的數據，人們對機率的判定，仍可能相差極大。且有時旁人視為主觀，自己卻認為客觀。那機率不是各說各話嗎？通常的確如此！事實上，平常諸多號稱專家，開口閉口“依據大數據…”，聽起來權威性十足，但數據躺在那裡，到底如何運用，很可能是相當主觀甚至隨意，並不見得皆具權威性。

賽前固然可大吹法螺，斬釘截鐵地做各種預測，一旦季後賽開打，預測是否準確，便要見真章了。快艇隊在例行賽的最後一場，以5分之差敗給西區排名倒數第2的雷霆隊，引起媒體奚落，說該隊“演很大”，因前一場快艇才輸給西區排名最後的火箭隊7分。以連敗兩場收尾，讓快艇例行賽的戰績，從原本的西區第3落至第4，因而季後賽首輪會對上排名第5的獨行俠。當時媒體報導，若快艇“正常”出賽，將有不小機會在季後賽首輪對決拓荒者，或者衛冕軍湖人，但快艇以為獨行俠較好打(去年季後賽，快艇以4比2擊敗獨行俠)，於是快艇“故意”先後敗給西區倒數1、2名的火箭和雷霆兩隊。我們說過球隊可有各種策略，既然進入季後賽的目標已達成了，就開始布局下一個目標，至少能走愈遠愈好。媒體的報導，究竟是小人之心的猜測，或者揭發真相？當然就無從得知了。

媒體雖是取笑快艇，獨行俠卻顯得很不是滋味，因這表示他們被普遍認為實力遠不如快艇，只是這口氣只好暫時忍下來。季後賽首輪打了兩場後，快艇被嘲諷偷雞不成蝕把米─挑錯對手了，居然連敗兩場！ESPN找的那群專家灰頭土臉了嗎？只能啞巴吃黃蓮，因獨行俠在系列賽的前兩場，打出令人驚嘆的表現：第一埸以47.6%之3分球命中率投進17個3分球；第2場再以52%之3分球命中率投進18個3分球。這時快艇不再被看好了，有人以為他們晉級的機率，已差不多是0了。因如果再輸1場，便陷入0：3的落後，而NBA史上，在此之前，季後賽累計有140支陷入0：3落後困境的球隊，無一能逆轉成功。只是賽前不是說快艇有17/18、1/3，或1/2的機率過關嗎？怎麼如今第3戰尚未開打，便好像被當做已輸定了，且過關的機率被認為已與0差不多了？要知機率值會變是機率的特性，視已知的結果，機率值可能會隨之調整，這便是條件機率。當然也有不變的情況，如知道東區某隊之戰績，對屬於西區之快艇能晉級的機率，應不至於有影響，即此二事件乃相互獨立。附帶一提，前述歷來從0：3逆轉成功的數據，雖是來自不同年分的不同球隊，但在沒有其他更有效的參考數據下，總是一值得參考的依據。

雖被看衰，快艇並不氣餒，由0：2落後連贏兩場，將戰績扳成2：2平手。這時快艇重獲媒體青睞，再度好評連連，這是合理的。其實NBA球迷一向看好快艇，2021年5月中旬例行賽一落幕，依美國媒體報導，最新奪冠賠率也立刻出爐。最被看好的球隊是籃網(例行賽在東區排第2、全聯盟第4)，其次是湖人(雖然因兩位主力球員受傷多時，他們例行賽戰績不佳，在西區排第7)，第3即為快艇，優於居第4之全聯盟例行賽戰績最佳的爵士。至於獨行俠奪冠賠率榜上之看好度僅名列第10。2：2平手後，第5戰唐西奇發威，率獨行俠力克快艇，取得3：2聽牌優勢。ESPN那18位專家的預測，至此落空，因快艇已不可能在6場內淘汰獨行俠。當然快艇並非沒機會了，但必須能連勝兩場，以4：3晉級，否則便止步於第1輪。那個當初眾人不看好的獨行俠，真是讓大家滿地找眼鏡。

第6戰快艇以104：97擊敗獨行俠。退此一步即無死所，永不放棄的快艇主將雷納德大爆發，拿下45分。他全場投25(包含3分球)中18，命中率高達驚人的72%，另加上4罰全進。NBA季後賽史上，他是第4位在球隊面臨淘汰時，拿下至少45分且命中率在7成以上的球員。罕見的紀錄，讓快艇免除以2：4飲恨，而將系列賽拉抬至3：3平手。如果雷納德在第6戰少進4球，則命中率仍有5成6，還是不錯，但便將少得至少8分，如此快艇便輸了。只是球賽當然無法有“如果”，那4次投籃不進後，怎知不會發生什麼對快艇有利的事？第7戰將一決生死。ESPN可能不必大費周章，再找任何專家來投票了。條件機率，經由這6場比賽下來，不論專家或非專家，大約都會覺得在這系列賽中，兩隊勢均力敵，因此應不必再分析了，藉投擲銅板預測那隊會晉級便可，反正兩隊晉級的機率，離1/2都不會太遠。但說不定也有人以為，球隊在主場向來較具優勢，但過去6戰，主場球隊全都輸球(創下NBA季後賽紀錄)，顯示兩隊都不擅長打主場，第7戰回到快艇主場，數據會說話，不是該下注獨行俠了嗎？

第7戰獨行俠的唐西奇大發神威，獲46分，14助攻及7籃板的驚人表現，另外，個人及球隊破了好幾項已高懸多年的NBA紀錄。快艇則轟進了20顆3分球，之前季後賽搶7大戰的3分球命中數之紀錄，是由勇士和火箭隊，分別在2016及2020年所創的17顆(不過季後賽單場3分球的紀錄是25顆，由騎士隊在2016年所創；而例行賽單場3分球的紀錄是29顆，由公鹿隊在2020年所創)。兩隊連連打破紀錄，卻只能有1家歡喜。此系列賽首度由主場球隊獲勝，幸運的快艇以126：111擊退獨行俠，挺進西區第2輪。ESPN的專家可鬆了一口氣，4勝3敗，比他們預測的4勝2敗有點誤差，但誰贏倒是講對了。

要知在壓力下，潛力是可能被激發出來的，只是雖人們皆知球賽完全不像持續投擲銅板，並不屬於重複觀測，卻仍常採用相對頻率的概念，以預測比賽結果。只能說機率原理在實際應用時，常不得不忍受誤差。雖誤差可能很大，但總比藉卜卦來預測好。無論如何，職業球賽裡，有各式各樣的數據，不看球賽轉播沒關係，但藉由分析比賽結果，將更能了解機率的涵義。