4 機率實作
球隊比賽，有時以投擲銅板來決定攻防先後，此因人們多半視銅板為公正。生活上，銅板除當錢幣外，也偶被用來當做公正的象徵。若接受某一銅板為公正，那便會相信，只要持續投擲該銅板，則正面數出現的相對頻率，將很可能愈來愈接近0.5。這便是著名的大數法則(law of large numbers)。實踐檢驗真理，真有人動手執行過實驗嗎？
坐牢時能做什麼？大部分的人是沒辦法在獄中完成“正氣歌”之類的傳世作品，或其他什麼偉大的成就，只能長吁短嘆吧！但其實仍有些事可以做。克里奇(John Edmund Kerrich，1903-1985)出生於英國，但在南非成長，後來回到英國唸大學。自1929年起，他開始擔任數學講師。他稱不上什麼了不起的數學家，使他出名的，是因他曾執行一系列的機率實驗。1940年4月初，他到丹麥首都哥本哈根拜訪親戚，在預計返回英國的兩天前，4月9日，德國納粹入侵丹麥。戰事僅持續6小時，丹麥政府便宣告投降，所以此戰役有時被稱為六小時戰爭(Six Hour War)，是第二次世界大戰期間，為時最短的戰役之一。南部與德國接壤的丹麥，對德國的戰略價值並不高，德國佔領的主要目的，是用來作為入侵與丹麥一海之隔，戰略價值極高的挪威之集結地，並確保部隊補給線之安全。至於挪威戰役(Norwegian Campaign)，則從1940年4月9日起至6月10日止，為期超過兩個月，雖最後仍淪陷，挪威可說奮勇抵抗。
在被囚禁期間，閒閒沒事幹，克里奇遂以銅板及乒乓球，來展示幾個簡單的機率法則之有效性。克里奇將每次投擲結果均記載下來，第二次世界大戰後，他出版“機率論實驗導論”(An Experimental Introduction to the Theory of Probability)，發表他的實驗紀錄。克里奇共投擲銅板1萬次，其中有5,067個正面，正面數出現的相對頻率為0.5067。此觀測能支持該銅板為公正嗎？是有點偏差，但大家想必了解，不能要求剛好得到投擲數之半5千個正面，才相信銅板為公正。事實上，若每次擲銅板實驗，皆恰得到半數個正面，一般人比較可能的反應，應是懷疑其中有貓膩，而不是就此心服銅板為公正。有點小偏差反而更易讓人相信銅板為公正，只是偏差可容忍到多大？
可求出當銅板為公正，投擲1萬次後，所得正面數之期望值為5千，標準差為50。如今正面數偏離期望值67，即偏了1.34個標準差。這樣的偏差算大嗎？一般會認為並不算太大，因利用中央極限定理(central limit theorem)來近似，偏差(超過或不足)至少1.34個標準差，其機率約為0.18，不算難發生。若就此便推翻銅板為公正，似太嚴苛了。因如此每5、6個實際公正的銅板，便差不多會有1個將被誤判為不公正。通常大約偏差逾1.96個標準差，才會不接受銅板為公正，即所得正面數，大於5,098個，或小於4,912個，才會拒絕銅板為公正之假設。在銅板為公正下，此機率約為0.05。統計實務上，不超過0.05的機率，通常才被認為算小的。例如，若得到5,100個正面，便會拒絕銅板為公正。
上述說明顯示，若欲以投擲來估計銅板出現正面之機率，即使投擲數高達1萬次，其估計大致也只能到小數1、2位準確。這是很正常的。現在來看投擲數多達1百萬次會如何？假設銅板公正，則所得正面數之期望值為50萬，標準差為500。所以得到的正面數，落在不超過期望值1.96個標準差之區間，即[499,020，500,980]，其機率約為0.95。此時對出現正面機率之估計值，將有約0.95的機率，介於0.49902，至0.50098間，大約到小數點後第3位準確。此顯示估計要夠準，所花的代價是投擲數要相當大。即使這樣，仍有約0.05的機率，估計值不落在前述區間。由此可看出統計與數學之別：在數學裡追求精準，機率值差0.05算是相當大。但統計裡，若誤差的機率為0.05，並不會覺得過大。尤其若數據本身就有難以掌握的誤差，如做民調時，樣本品質往往不會太高，此時追求過小的估計誤差，或誤判機率值，反會擔心造成他處更大的誤差。所謂明足以察秋毫之末，而不見輿薪，如此將得不償失。
歷史上，曾實際去多次投擲銅板的人，可能並非太多，因那畢竟是一件相當單調的事，且數學家對於實作，通常興趣不太大。近年來則有一受人關注的“投針實驗”。
數學裡有幾個既特別又重要的常數，其中圓周率π，應為人們最熟知的一個。圓周率乃圓周長與其直徑之比，而半徑是r的圓，周長則為2πr，面積為πr2，這是人們從小學起便知道的。又，以希臘字母π來代表圓周率，乃英國威爾斯(Wales)的數學家瓊斯(William Jones，1675-1749)所提議的。不過歷史上，至少自阿基米德(Archimedes，西元前287-212年)的時代起，便持續有人探討π了。而早在距今1千5百多年前，我國的祖沖之(429-500)，這位南北朝時第一個朝代宋的著名數學家，約於480年，利用我國另一位重要要數學家，三國時代魏國劉徽(約225-295)的割圓術，從圓的內接正6邊形開始，持續分割，至正24576(=6×212)多邊形，求出
3.1415926 < π < 3.1415927，
精確到小數點後第7位。π的近似值常簡單地取為3.14，或到小數點後第5位的3.14159，或更精準的3.14159265358979等。π乃一無理數，甚至是超越數(transcendental number)，即不為一整係數多項方程式之根。若以分數表示，則π有22/7、333/106、355/113、52,163/16,604、103,993/33,102、及245,850,922/78,256,779等之表示，依序分母愈大愈精準。
現在便來看，什麼是布豐投針問題(Buffon’s needle problem)。布豐(Georges-Louis Leclerc，Comte de Buffon，1707-1788)是18世紀一位涉獵相當廣泛的法國科學家。他曾提出一投針問題，我們將問題稍修飾如下：假設一平面上有無限條間距為l之平行線，隨機地投擲一長度為a之針至此平面上，其中a<l。求針會與其中某一條平行線相交之機率。底下略說明解法。
將平行線的某一方向稱為左，另一方向稱為右，而與平行線垂直的方向，一稱為上，一稱為下。令X表針落在平面後，與右方向之夾角，夾角落在區間[0，π)，又令Y表針下方端點，與最接近的上方那條平行線之距離，此距離落在區間(0，l]。而所謂隨機地投擲一針至平面上，我們解讀成X與Y獨立，且分別在區間[0，π)及(0，l]均勻分佈。即X，Y之聯合機率密度函數
f(x,y)=1/(πl)，x∈[0,π)，y∈(0,l]。
則
P(針與某一平行線相交之事件)=P(Y ≤ a sinX)。
上式右側機率，即f(x,y)在x-y座標平面上長方形區域[0,π)×(0,l]之重積分。經簡單的計算，得
P(針與某一平行線相交之機率)=2a/(πl)。
至於上式左側機率，可經由投擲針n次，若其中有kn次針與平行線相交，則以相對頻率kn/n來估計。於是當n夠大，kn/n便可用來近似2a/(πl)，即π可以2an/(lkn)來近似。這便是以投針來估計π。至於這樣的估計能有多準，當然與n之大小有關。而且，如前述對以投擲來估計銅板出現正面機率之說明，若欲對π的估計夠精準，n通常須相當大才行。
上述近似過程，乍看之下有些神奇，因圓周率為一常數，如今卻能以一套隨機的程序來估計它，且這豈不就是數學與統計的結合嗎？令人振奮！其實一特定銅板出現正面的機率，也是一定值，只是未知而已，而人們也是以投擲銅板這種隨機程序來估計它。本質上此二估計，乃在執行類似的工作。
連政治人物，都感受到π的重要。2009年3月12日，美國眾議院通過，將每年的3月14日訂為“圓周率日”(Pi Day)。聯合國科教文組織則於2019年通過，每年3月14日為國際數學日(The International Day of Mathematics)。當然這天各國應都不會放假。如何慶祝國際數學日？自2020年起，中華民國數學會於3月14日，舉辦“萬人布豐投針實驗”。依該學會之報導，2020年全台共有兩百多個班級參與，投擲數最多的是10,040次，測得圓周率為3.4451；投擲數最少的是224次，測得圓周率為3.0046。全部回收的數據(排除14份異常值)中，總投擲229,105次，其中相交138,955次，依布豐公式，得到圓周率之估值為3.140516…，絕對誤差約千分之一，相對誤差約萬分之3。至於2021年，除了事先邀請全台152所學校，超過萬名師生參與布豐投針實驗，也廣邀民眾，於3月14日當天，在國立臺灣科學教育館(簡稱科教館)，一起參與現場的投針實驗。152校師生，事先之投針實驗合計後，估算出的圓周率為3.1372；科教館現場民眾參與的實驗，估算出圓周率則為3.1418。
2019年3月25日聯合報的好讀周報有則新聞，開頭便說“Google本月14日宣布，日籍女工程師艾瑪岩尾(Emma Haruka Iwao)耗時4個月，以雲端服務算出圓周率至小數點後31.4兆位數，刷新此前22.4兆位數的紀錄，以此紀念π對科學發展的重要性。”31.4兆位，就是31.4萬億位。注意這是“位數”，而1兆“僅”有13位。若以A4紙列印，假設1頁能印4千位，需要78.5億頁，才能印出這麼長的一串π值。若1本書有1千頁，將需要785萬本書，才能印出來。在2019年的圓周率日，Google公司宣佈打破紀錄，求出圓周率至小數點後31.4兆位，以為慶祝。而我們如何慶祝？大費周章，卻只能求出圓周率至小數點後1或2位。參與投針實驗的萬名師生，因此對機率的認識有增加嗎？能更引起學習機率的興趣嗎？恐怕皆未必。因他們每個人所做的事，不過是擲幾根不算細的“針”(由所公佈的活動照片，看起來較像竹籤)，而以所得到的結果來估計π，將被略具數學概念的學生識破並不實際，因得到的估計值，準確性大多不如他們自小學起即熟知的近似值3.14，不如3.14159準確則是一定的。
一方面已知的常數圓周率，已有很多精準的數學公式來近似，要精準到小數點後第幾位都可以，只是所花時間長短的問題。而一未知的銅板出現正面之機率，不妨以p表之，既然是未知，只好以隨機投擲來估計，而即使投擲數再大，都無法保證p之估計值，能到小數點後第幾位準確。況且若以n表投擲數，數學上令n趨近至∞不過一句話，實際擲針時，不但n無法趨近至∞，連n並不算太大時，執行起來便已相當困難。另一方面，投擲銅板後，那一面朝上很容易辨識；至於擲針後，那些針與平行線相交，並非那麼容易分辨。即使平面上只有一根針，有時仍得睜大眼，才能判定該針與平行線是否相交，何況針很多時。活動照片顯示，經大量投擲後，往往多根針交錯重疊。如此計數時不產生錯誤，根本是高難度。更不要說，可能是為了更易看清楚，一條條的平行“線”，均約有0.5公分寬，針的寬度加上線的寬度，將讓計算的誤差變得更大了。
要知統計是沒有辦法中的辦法，當無其他辦法時，統計便能大顯神通。若已有簡易明確的辦法求出精確值，實不必再大費周章，以誤差不小的觀測實作來估計。當然針看起來似比銅板更莫測高深；圓周率比銅板出現正面之機率也似更有學問；畫有平行線之擲針地板，比不必佈置之擲銅板地板亦似更吸引人，這些都可能是舉辦擲針活動，而不是舉辦擲銅板活動的原因。
