接下來我們來看獨立性(independence)。 在機率論裡, 獨立是一很重要的概念。 不過這
種獨立的概念, 是所謂統計的獨立(statistically independent), 或稱隨機的獨立(stochastically
independent), 與日常生活裡的主權獨立, 經濟獨立中的"獨立"意義並不相同。
若一事件之發生, 對事件之發生的機率並沒有影響。即
, --------------------------------(1)
則我們說與相互獨立(mutually independent, 簡稱獨立)。此處需要求。
再由先前介紹的條件機率知
,--------------------------(2)
因此, 由(1)式與(2)式可得
。---------------------------(3)
(3)式對或為0時仍然成立(因此時(3)式左、右均為0)。所以我們就常以(3)式當
做與獨立的條件。採用(3)式的好處是將二事件與對稱地對待, 且較易推廣到超過
兩個事件獨立的情況。
若要計算二獨立事件交集的機率, 我們只需將二事件個別的機率相乘即可。若要決定
與是否為獨立, 只要驗證是否成立, 若成立, 則與獨立,
否則與相依(dependent)。
當事件與 獨立時, 由 之發生, 對事件得不到任何推論(inference) 。因此直觀上
與 獨立, 會導致與獨立。這是正確的, 其推導如下:
事實上不難看出, 與、與也都獨立。
最後, 我們來看三個事件的獨立要如何定義?
設 , , 為樣本空間中的三事件, 若滿足
(1) , , 兩兩獨立, 即
,
,
,
(2) ,
則我們稱, , 三事件相互獨立(仍簡稱獨立)。
生活中的實例1
投擲一公正的骰子一次, 令表出現偶數點的事件, 表出現3點或6點的事件。試問與
是否獨立?
[解]: ={2,4,6}, ={3,6}, ={6}, 所以
, ,
,
所以事件與獨立。
隨堂練習1
投擲一骰子二次, 令表第一次為4點的事件, 表第二次為3或6點的事件。試問與是否
獨立。
[解]:獨立。
生活中的實例2
設, 為樣本空間之二事件, 若, , ,
試求滿足下述條件之之值。
(1)與為互斥事件,
(2)與為獨立事件。
[解]:
(1) 因與為互斥事件, 所以 , 且, 故
(2) 因與為獨立事件, 故 , 因此可得
隨堂練習2
甲乙二人平常射擊之命中率分別為0.5, 0.6, 且互不影響, 今有一鳥飛入射程內,
二人同時各對他發射一槍, 求此鳥被命中之機率為何?
[解]: 0.8。
生活中的實例3
某賣場經理根據過去經驗知道, 有80%的顧客在結帳時會使用信用卡, 則連續三位顧客皆使用
信用卡的機率為何?
[解]: 在沒有其他已知的條件下, 我們假設此三位顧客使用信用卡的事件為獨立似不為過。因
此三人皆使用信用卡的機率為0.8×0.8×0.8=0.512。
隨堂練習3
投擲一公正銅板三次, 令 表第一次出現正面的事件, 表第二次出現正面的事件, 表第三次
出現反面的事件, 試問, , 三事件是否相互獨立。
[解]: , , 三事件相互獨立。
1. 在梅莉史翠普(Meryl streep)主演的越戰獵鹿人(The Deer Hunter, 1978年奧斯卡金像
獎最佳影片)那部電影裡,有一描述虐待戰俘的方法。在一可裝6發子彈的左輪手槍(revolver)
裡,只放一顆子彈,隨機地一轉後,要二戰俘輪流用手槍向自己的頭部發射,直到一名戰俘中槍,
另一名戰俘才逃過一劫。這就是所謂俄羅斯輪盤(Russian roulette)的遊戲。試問
(1) 先發射者是否較不利?
(2) 若改為放兩顆子彈,結果有何不同?
[解答部分]
1. (1) 無論先發射或後發射死亡機率均為0.5。
(2) 對先發射者較不利。
團體中任取一位學生, 其性別與年級獨立, 試問此時為何值?
件是否獨立, 為什麼?
奇數。試問此三事件是否獨立, 為什麼?
解此道題目且互不影響, 試求下述情況之機率:
(1) 甲、乙二人均解出,
(2) 甲、乙二人恰有一人解出,
(3) 甲、乙二人均未解出,
(4) 此題被解出。
飛入射程內, 三人同時各對它發射一槍, 求此鳥被命中之機率為何?
[解答部分]
1. 9。
2. 不獨立, 因與不獨立。
3. 不獨立。
4. (1) 0.15, (2)0.5, (3) 0.35, (4) 0.65。
5. 0.94。