在前一單元, 我們介紹的完全相異物直線排列, 若這些事物中某些是相同的, 其排列數要如何求呢? 

此即『不盡相異物直線排列』, 我們先看一個簡單的問題:

              將兩支相同的鉛筆和一支原子筆排成一列, 試問共有多少種排法?

解這個問題, 若以"A"代表鉛筆, 以"B"代表原子筆, 則可以很清楚知道共有AAB, ABA, BBA等三種

不同的排法。

  為了進一步了解一般問題之解法,我們作以下的分析: 

       第一步: 先將兩支鉛筆看成相異, 分別編號並以 A1 A2

       第二步: 將鉛筆與原子筆做『完全相異物直線排列』, 共有3!=6種, 如下: 

                

  A1   A2    B   A2    A1    B
  A1     B    A2   A2     B     A1
   B     A1   A2    B     A1    A2

    我們可以發現第一列的兩種排列中, 鉛筆均在第一及第二個位置, 只是編號不同, 也正是

兩個完全相異物做直線排列的情況, 因此如果我們將鉛筆的編號去掉, 則第一列的2種排列均是

AAB, 同樣地, 第二及第三列也分別是 ABA, BAA   故對於『不盡相異物』做直線排列時, 先

將全部視為『完全相異物直線排列』, 求出後在去除以相同物做『完全相異物直線排列』的結

果, 就得到我們要的答案, 故本問題可以很快求出3!/2!=3種。  

   我們底下給出一般的作法: 

 

不盡相異物直線排列

若有$n$個不同的事物, 將相同的事物歸為一組, 可歸成$k$組, 且每組有$m_i$個事物, 其中

 $i=1,2,\cdots, k$, 且 $\sum_{i=1}^{r}              
m_i=n$, 則此$n$個事物做『不盡相異物直線排列』之方法數為

\begin{eqnarray*}           
\frac {n!}{m_1! m_2! \cdots m_k!}           
\end{eqnarray*}

 接下來我們介紹重複排列, 先看下面的問題: 

             從1,2,3,4,5五個數字中, 所構成的四位數有幾種? (其中數字可重複)

解這個問題, 只要用到乘法原理就可以。 因有四位數, 每一位數選法均可從1,2,3,4,5五個數字

中挑一個數字, 共有5種方法, 故由乘法原理知, 共有 $5\times              
5\times 5\times 5=5^4$種。

事實上, 我們可以寫成更一般, 即所謂的『重複排列』

重複排列

若由有$n$種不同的事物, 任選$m$個作重複排列。 因每次選取均有$n$種不同的取法, 共取$m$個, 

則有$n^m$種取法。

生活中的實例1

將兩支相同的鉛筆和兩支相同的原子筆排成一列, 試問共有多少種排法?

[解]: 此為『不盡相異物直線排列』問題, 其方法數為: 

\begin{eqnarray*}         
\frac {4!}{2!\times 2!}=6         
\end{eqnarray*}(種)。
 

隨堂練習1

將4個相同的黑球、3個相同的白球、2個相同的紅球排成一列, 試問共有幾種不同的排法?

[解]: 1260種。

 

 

生活中的實例2

將"一寸光陰一寸金'' 七字排成一列, 試問共有幾種排法?

[解]: 先將"一寸光陰一寸金" 重排為" 一一寸寸光金陰" 故此為『不盡相異物直線排列』, 

其方法數為

\begin{eqnarray*}          
\frac {7!}{2!2!}=1260          
\end{eqnarray*}(種)。

隨堂練習1

將"庭院深深深幾許'' 七字排成一列, 試問共有幾種排法?

[解]:840種

 

 

生活中的實例3

如下之街道圖, 某人欲從A走捷徑至B, 試問共有幾種走法? 

       

 
 

[解]: 我們以"東"表示向東走一小段, 以"北"表示向北走一小段, 則每一種從A走捷徑至B的走法都

是由5個"東"及4個"北"排列而成, 例如, 下圖紅色部分即為其中一種走法, 此走法為

"東東北北東東北東北", 因此共有

                      種走法。

         

 

隨堂練習3

 如下之街道圖, 某人欲從A走捷徑至B但不經過C, 試問共有幾種走法?

            

  [解]:66種。                                   

  生活中的實例4

將5種不同的酒倒入4個不同杯子中, 若酒只能倒一次, 且每個杯子可有多種酒。試問共有幾種

倒法?

[解]:將酒依序倒入杯子中, 因每種酒只能從4個不同的杯子中選一杯子倒, 均有四種可能的倒法, 

故共有$4^5=1024$種。

 

隨堂練習4

將5種不同的酒倒入4個不同杯子中, 每個杯子只能裝一種酒, 酒可以重複倒。試問共有幾種倒法?

[解]:625種。

1. 某餐廳有旋轉小火車壽司, 該小火車繞圓形餐桌行駛, 現設有3位顧客在此餐桌用餐, 

小火車可擺12種不同的壽司, 每種一個。 當小火車行駛到顧客面前時,顧客可挑選一種壽

司, 亦可不挑選, 小火車每繞完一圈後, 廚師會將小火車上缺的壽司補齊。試問

(1) 當小火車行駛一圈後, 若每個顧客各選一種壽司, 共有幾種選法?

(2) 當小火車行駛一圈後, 若有一個顧客未選擇壽司, 則共有幾種選法?

(3) 當小火車行駛兩圈後, 若每個顧客均各選兩種不同的壽司, 共有幾種選法?

 [解答部分]

(1) 1320種, 

(2) 396種, 

(3) 5793480種

  1. 將相同的鉛筆3枝, 原子筆2枝, 鋼筆2枝, 分給兒童, 每人最多一支, 試求下述情況

    之方法數:

    (1) 分給7個兒童,

    (2) 分給9個兒童。

     

  2. 有二個高三生, 二個高二生, 二個高一生排成一列, 同年級不相鄰, 試問共有多少種排

    法?

     

  3. 由1至1000的正整數中, 含數字3的數有幾個?

     

  4. 三位正整數中, 不含數字0及8者共有幾個?

     

  5. 5件不同的玩具, 全部分給甲乙丙丁四人。 試求下述之方法數。

    (1) 甲生恰得一件,

    (2) 甲生至少得一件。

     


[解答部分]

1. (1) 210, (2) 7560。

2. 240。

3. 271。

4. 512。

5. (1) 405, (2) 781。