在前一單元, 我們介紹的完全相異物直線排列, 若這些事物中某些是相同的, 其排列數要如何求呢?
此即『不盡相異物直線排列』, 我們先看一個簡單的問題:
將兩支相同的鉛筆和一支原子筆排成一列, 試問共有多少種排法?
解這個問題, 若以"A"代表鉛筆, 以"B"代表原子筆, 則可以很清楚知道共有AAB, ABA, BBA等三種
不同的排法。
為了進一步了解一般問題之解法,我們作以下的分析:
第一步: 先將兩支鉛筆看成相異, 分別編號並以 A1 A2
第二步: 將鉛筆與原子筆做『完全相異物直線排列』, 共有3!=6種, 如下:
A1 A2 B | A2 A1 B |
A1 B A2 | A2 B A1 |
B A1 A2 | B A1 A2 |
我們可以發現第一列的兩種排列中, 鉛筆均在第一及第二個位置, 只是編號不同, 也正是
兩個完全相異物做直線排列的情況, 因此如果我們將鉛筆的編號去掉, 則第一列的2種排列均是
AAB, 同樣地, 第二及第三列也分別是 ABA, BAA 。 故對於『不盡相異物』做直線排列時, 先
將全部視為『完全相異物直線排列』, 求出後在去除以相同物做『完全相異物直線排列』的結
果, 就得到我們要的答案, 故本問題可以很快求出3!/2!=3種。
我們底下給出一般的作法:
接下來我們介紹重複排列, 先看下面的問題:
從1,2,3,4,5五個數字中, 所構成的四位數有幾種? (其中數字可重複)
解這個問題, 只要用到乘法原理就可以。 因有四位數, 每一位數選法均可從1,2,3,4,5五個數字
中挑一個數字, 共有5種方法, 故由乘法原理知, 共有
種。
事實上, 我們可以寫成更一般, 即所謂的『重複排列』
生活中的實例1
將兩支相同的鉛筆和兩支相同的原子筆排成一列, 試問共有多少種排法?
[解]: 此為『不盡相異物直線排列』問題, 其方法數為:
隨堂練習1
將4個相同的黑球、3個相同的白球、2個相同的紅球排成一列, 試問共有幾種不同的排法?
[解]: 1260種。
生活中的實例2
將"一寸光陰一寸金'' 七字排成一列, 試問共有幾種排法?
[解]: 先將"一寸光陰一寸金" 重排為" 一一寸寸光金陰" 故此為『不盡相異物直線排列』,
其方法數為
隨堂練習1
將"庭院深深深幾許'' 七字排成一列, 試問共有幾種排法?
[解]:840種
生活中的實例3
如下之街道圖, 某人欲從A走捷徑至B, 試問共有幾種走法?
[解]: 我們以"東"表示向東走一小段, 以"北"表示向北走一小段, 則每一種從A走捷徑至B的走法都
是由5個"東"及4個"北"排列而成, 例如, 下圖紅色部分即為其中一種走法, 此走法為
"東東北北東東北東北", 因此共有
種走法。
隨堂練習3
如下之街道圖, 某人欲從A走捷徑至B但不經過C, 試問共有幾種走法?
[解]:66種。
生活中的實例4
將5種不同的酒倒入4個不同杯子中, 若酒只能倒一次, 且每個杯子可有多種酒。試問共有幾種
倒法?
[解]:將酒依序倒入杯子中, 因每種酒只能從4個不同的杯子中選一杯子倒, 均有四種可能的倒法,
故共有種。
隨堂練習4
將5種不同的酒倒入4個不同杯子中, 每個杯子只能裝一種酒, 酒可以重複倒。試問共有幾種倒法?
[解]:625種。
1. 某餐廳有旋轉小火車壽司, 該小火車繞圓形餐桌行駛, 現設有3位顧客在此餐桌用餐,
小火車可擺12種不同的壽司, 每種一個。 當小火車行駛到顧客面前時,顧客可挑選一種壽
司, 亦可不挑選, 小火車每繞完一圈後, 廚師會將小火車上缺的壽司補齊。試問
(1) 當小火車行駛一圈後, 若每個顧客各選一種壽司, 共有幾種選法?
(2) 當小火車行駛一圈後, 若有一個顧客未選擇壽司, 則共有幾種選法?
(3) 當小火車行駛兩圈後, 若每個顧客均各選兩種不同的壽司, 共有幾種選法?
[解答部分]
(1) 1320種,
(2) 396種,
(3) 5793480種
之方法數:
(1) 分給7個兒童,
(2) 分給9個兒童。
法?
(1) 甲生恰得一件,
(2) 甲生至少得一件。
[解答部分]
1. (1) 210, (2) 7560。
2. 240。
3. 271。
4. 512。
5. (1) 405, (2) 781。