在前面兩單元, 我們介紹了直線排列, 若將直線的首尾相接,變成一個園, 稱之為"環狀", 如下圖:  

環狀排列: 又稱圓排列, 是將事物沿著一圓周來作排列, 只考慮事物的相對位置, 而不計較

各物件所在的實際位置。 此排列可旋轉, 但不可翻轉。底下先看一個問題: 

       甲乙丙三人圍一圓桌而坐, 共有幾種坐法? 

解這個問題, 我們先考慮甲乙丙三人做直線排列的狀況:

   

(圖1)

　

         

(圖2)

                     

  共計6種情形。若將(圖1)的直線排列首尾相接, 成為一圈, 如(圖3)

                      

(圖3)

我們可以發現(圖3)的中間與右邊兩圓, 都是左邊的圓逆時針旋轉的結果, 所以應屬於同一類。

同理, 若將(圖2)的直線排列首尾相接, 成為一圓, 如(圖4), 也可發現此三個也屬於同一類。

　

故共有 $\displaystyle \frac {3!}{3}=(3-1)!=2$種排列方式。

所以若$n$個不同事物在做環狀排列時, 先求其直線排列, 因每$n$個排列方式中, 在環狀排列均視為同

一種。故環狀排列數為 直線排列數/排列之個數。底下我們給出『環狀排列』的公式：
環狀排列

(1) $n$ 個不同物件的環狀排列數為 $\displaystyle \frac {n!}{n}=(n-1)!$

(2) $n$ 個不同物件中, 任取$m$ 個的環狀排列數為 $\displaystyle \frac {P^n_m}{m}$。

　

接下來我們介紹『項鍊排列』, 因項鍊沒有正反面之分, 所以項鍊排列數就是環狀排列數除以2。

生活中的實例1

五對夫婦圍圓桌而坐, 試問男女相間坐的方法數為何?

[解]:

先直線排列: $5!\times 5!\times 2$

故環狀排列數為 $\displaystyle \frac {5!\times 5!\times 2}{10}=4!\times 5!=2880$。

　

生活中的實例2

五對夫婦圍圓桌而坐, 試問每對夫妻相鄰而坐的方法數為何?

[解]:

先直線排列: $5!\times 2^5$

故環狀排列數為 $\displaystyle \frac {5!\times 2^5}{5}=4!\times 2^5$。

隨堂練習1

有三男三女圍一圓桌相隔而坐,試問共有幾種不同的坐法。

[解]: 12種。

　

隨堂練習2  

 甲、乙、丙、丁、戊、己六人圍一圓桌而坐,若甲、乙、丙三人相鄰而坐, 試問共有幾種不

同的坐法。

[解]: 36種。 

　

生活中的實例3

有8個不同顏色的珠子, 全部串成一項圈, 試問其方法數有多少種?

[解]:

先將其想像成8個不同的物品做環狀排列, 故其方法數有$8!/8=7!=5040$,

其次因項鍊沒有正反面之分, 故須除以2, 所以共有$5040/2=2520$種。

隨堂練習3

有8個不同顏色的珠子, 取6個串成一項鍊, 試問其方法數有多少種？

[解]:1680種。

　

1. 四對夫妻圍圓桌而坐, 下列各情況, 各有幾種坐法?

(1) 男女相隔且夫妻相鄰,

(2) 每對夫妻相對,

(3) 恰有三對夫妻相鄰,

(4) 夫妻不相鄰且男女相間隔。

　

1. (1) 12, (2) 48, (3) 384, (4) 12。