接下來, 介紹『重複組合』, 我們先看一個例子。
將4支相同的鉛筆分給甲乙兩人, 試問共有幾種方法?
解這個問題, 我們先用列表方式來解, 很清楚可以看到甲乙二人得到的鉛筆數如下:
甲 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
乙 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
共5種。事實上此問題可以簡化為『解方程式的非負整數解』的問題。我們可以
想像成有4個|, 有1個+號做不盡相異物直線排列,
故共有
種。
如下所示 。
甲 |
乙 |
想像圖示 |
0 | 4 | + | | | | |
1 | 3 | | + | | | |
2 | 2 | | | + | | |
3 | 1 | | | | + | |
4 | 0 | | | | | + |
如果多了一位學生丙, 則有3人要分4支鉛筆, 可簡化為『解方程式的非負整
數解』的問題, 就可以想像有4個|, 有2個+號做不盡相異物直線排列,
則有
種。
推廣至有位學生要分支鉛筆, 可簡化為『解方程式的非負整
數解』的問題, 就可以想像有個|, 個+號做不盡相異物直線排列, 則有
種。
我們將此問題寫成一般的形式, 即所謂『重複組合』。
[說明]: 對於『解方程式的非負整數解』的問題, 其解的個數就是。
接下來我們給出二項式定理的形式:
[說明]: 考慮之情況, 可以將其視為3個的連乘積, 即
---------------------------------------------------(1)
上式展開之結果為, 共有4項, 分別為, , ,
, 故一般項的可寫成的形式, 其中 , 底下我們看看各項係數
是如何產生的:
項之係數為(1)式等號的右邊每一項都出, 所以只有一種可能。
項之係數為(1)式等號右邊, 有兩項出, 一項出, 所以可能的情形有種。
項之係數為(1)式等號右邊, 有一項出, 兩項出, 所以可能的情形有種。
項之係數: (1)式等號右邊每一項都出, 所有只有一種可能。
因此若將的展式寫成組合的形式為:
。
底下給一特例:
最後, 我們給出『多項式定理』的一個特例。
生佸中的實例1
有4位學生, 他們總共收藏了15套相同的紀念郵票, 試問可能的情形有幾種?
[解]:可將問題轉為, 解方程式的非負整數解之個數, 所以其解共有
,
因此可能情形有816種。
隨堂練習1
有一個三層的小書櫃, 欲放了20本『哈利波特-神秘的魔法石』一書, 試問共有幾種可能的放法?
[解]: 231種。
生活中的實例2
設有相同的鉛筆5支,原子筆6支, 彩色筆7支, 從中任意抽出5支, 試問共有幾種取法?
[解]: 因每一種筆的數目都大於5, 所以此為重複組合, 因此可假設鉛筆被抽出支, 原枝筆被抽
出支, 彩色筆抽出支, 則原題可簡化為『解方程式 的非負整數解個數』, 因
此共有
,
故共有21種取法。
隨堂練習2
設一袋中有紅、藍、白三種顏色的球各10個, 從中抽取6個球, 試問共有幾種取法?
[解]: 28種。
生活中的實例3
同時投擲兩個公正且相同的骰子, 試問有幾種可能的結果(花色)?
[解]: 我們可以令表骰子出現的次數, 其中, 總共的出現次數為2。
則原題可改寫為『解方程式的非負整數解之個數』, 因此
共有
故共有21種可能的結果。
隨堂練習3
5個人猜拳, 試問會出現多少種結果?
[解]:21種。
生活中的實例4
試求方程式之正整數解之個數。
[解]: 因為是求正整數解的個數,
所以令
則原問題改寫為『解方程式 中非負整數解之個數』。故共有
,
故非負整數解共有165個。
隨堂練習4
試求方程式之正整數解的個數。
[解]: 36個
生活中的實例5
試求
展開式中, 之係數。
[解]:
展開式之通項為
令
故之係數為 。
隨堂練習5
試求
展開式中, 之係數。
[解]:0。
生活中的實例6
試求的近似值至小數點後第二位。
[解]:
隨堂練習6
試求的近似值至小數點後第二位。
[解]:1.22。
生活中的實例7
試求展開式中, 項的係數
[解]:
。
隨堂練習7
試求展開式中, 項的係數。
[解]:
房間種類 | 價格 | 房間數 |
單人房 | 2500元 | 10 |
雙人房 | 3500元 | 5 |
三人房 | 5000元 | 5 |
該旅館亦提供每間可加一張床之服務, 費用為600元。 若男女不同房,且女生不住單人房,
試問
(1) 共有幾種分配床位的方式。
(2) 如何安排房間及床位,該公司之總花費才最少?
[解答部分]
1. 90組。
2. 8232個。
3. 35。
4. 4。
5. 。
6.
7. 651。
8. 336。