伯努力分佈

在日常生活裡，有很多我們接觸的隨機現象，往往恰有兩個可能的結果。譬如說生男或生女，考試及格或不及格，投擲一銅板得到正面或反面，投擲一骰子得到奇數或偶數點，自一袋中任取一球得到白球或非白球，某人是否得到某一特定的病，某股票是否上漲等。當然這一切，都可簡化為成功（success）及失敗（failure）兩種結果。即在二結果中，指定一我們有興趣的，並將之稱為成功，另一結果則稱為失敗。

假設某隨機現象是可以重覆的，則每觀察一次這種隨機現象，便稱為進行一次隨機試驗。而對一只有兩種可能結果的隨機試驗，便稱為一伯努力試驗（Bernoulli trial）。

一伯努力試驗中，被稱為成功的事件，不一定是我們喜歡的結果，而是二結果中，我們較關心或有興趣者。例如，我們可能會記錄共有幾次交通事故，或共有幾人得病等。則每一次交通事故，或每有一人得病，便皆稱為一次成功。

在有些較複雜的隨機試驗中，若我們有興趣的是某特定事件的發生與否，則也會產生伯努力試驗。例如，假設觀察患有某病之病人的存活時間。雖然通常取的值超過兩個但若我們有興趣的為病人是否存活超過5年，則事件便可稱為成功事件，至於其餘集，便稱為失敗事件。如此一來，此試驗就可視為一伯努力試驗了。又如，在某次選舉中，有候選人多位，投票情況當然很複雜。但若我們只關心選民是否會投給某特定候選人，則便化為只有二結果，伯努力試驗又出現了。

由以上討論知，伯努力試驗的例子處處可見。而只有兩個可能結果的試驗，可說是最簡單的試驗了。計算機裡採用二進位，以0及1，便可表示出所有的數。在隨機世界裡，也可以只有二結果的伯努力試驗，而繁衍出種種的分佈。

伯努力試驗，是因瑞士著名的數學家，機率論創始者之一的James Bernoulli（1654-1705）而得名。而一隨機變數若滿足

,

其中，便稱為具有參數之伯努力分佈（Bernoulli distribution)，以表之。可簡便地寫成 。又之機率密度函數(p.d.f.)即為

。

伯努力分佈的期望值與變異數分別如下：

。