黃文璋

國立高雄大學應用數學系

 

 

民國九十一年一月起台北銀行發行公益彩券,盛行了幾期,要求降溫的聲音便不絕於耳。我們來看美國的情況。在2000會計年度,全美樂透彩券銷售金額達到383億美元,以二億四千萬人計,平均每人約買160美元,即約5,600台幣。單州銷售量最大的是麻薩諸賽州,該州有635萬人,但共賣出約37億美元。而個人買最多的為羅德島州,平均每人約買823美元,即約28,800台幣。台灣如果全年銷售1,000億元台幣,平均每人約買4,300元,尚較全美平均還低,更遠低於羅德島州。要知美國並非每一州均允許賣彩券,包含猶他州在內,有13州是不賣彩券的。

所以若與美國已經是穩定狀態的情況相比,台灣一開始的狂熱,即使不能說是小巫見大巫,也不須過度擔心。倒是因此引起普遍社會對機率統計的重視,進而較能以隨機的方式來思考問題,也是一個收穫。

一般樂透彩是從1n的號碼中,任意挑選r個不同的號碼下注。我們稱此為nr。台北銀行目前的版本為426,與愛爾蘭及美國的一些州一樣。美國各州從396546都有。世界各地樂透彩中獎的方式大同小異,均與台北銀行現行方式類似。每一期由具公信力的發行單位,隨機地產生r個號碼,就是頭獎號碼。頭獎中獎機率很低,以紐約州的546為例,只有25,827,165分之一,約為426的頭獎中獎機率的五分之一。台北銀行是以每一期總銷售金額的56%當作總獎金,頭獎獎金約佔總銷售金額的17%,但因有普獎的關係,此比率每期會有些波動。一張彩券50元,其中便約有8.5元充做頭獎獎金。頭獎至肆獎若有數人同中,則均分該項獎金。

樂透彩對玩家而言,是一個不公正的賽局,平均每100元只能拿回56元。那為什麼還有這麼多人願意玩呢?主要的原因應是大獎的鉅額獎金吸引人。以「一券在手希望無窮」來形容尚不足,至少要加上「可以改變你的人生」。想想上億元的獎金是多少人一輩子不吃不喝也存不到的錢。再加上在樂透彩的賽局裡,投資可以很小,而且又眾生平等,每個人只要有50元便可進場。不論才智貧富,不需努力,每個人都可有相同的機會一夕致富。因此雖然數學的理論告訴我們,若找到一種每年投資報酬率為15%的投資方式,每月固定投資15千元,則以複利計,30年後本利和將超過1億元。但不少人還是寧願經由那6個號碼,來獲取1億元。要知15%的報酬率並非閉著眼睛便找得到,而30年也實在太長了,超過一般人願意的等待。在真愛一世情那部電影裡,茱莉亞歐蒙在布萊德彼特離家前對他說「不管多久,我會永遠等你。」幾年後彼特回來了,已嫁給彼特大哥的歐蒙,對前來看他的彼特,幽幽地說「永遠,實在是太久了。」

做莊的政府面對那些心甘情願的繳稅者,不禁樂在其中。英國學者伊文(C. H. L’E Ewen)曾說

國家徵收樂透稅,    Lotto’s a taxation,

愚人乖乖捧錢來,    On all fools in the nation,

感謝讚美老天爺,    But heaven be praised,

輕輕鬆鬆錢落袋。    It’s so easily raised.

前面提過每期頭獎號碼是以隨機的方式產生。所謂隨機,乃表一組6個號碼,皆有相同的可能性出現。對於台北銀行的樂透彩,426共有5,245,786組不同的號碼,每一組應皆有5,245,786分之一的機率出現。而且不同期之頭獎號碼應相互獨立,也就是互不影響。這是樂透彩與股市、賽馬等賭局不同處。一旦期數夠多後,發行的單位應做統計分析,以檢定歷來開出的頭獎號碼,是否以隨機的方式出現。光是檢查球的重量是不夠的。

如果號碼真的是隨機產生,那為什麼還有人追求明牌呢?坊間充斥著各種神樹牌、問神牌、解夢牌等,往往以心誠則靈做號召。但究竟有沒有效呢?連號的經常出現,頭獎號碼裡有重覆出現,有些號碼卻又一直未出現,這些均使人懷疑頭獎號碼的出現並非隨機,熱門及冷門號碼似乎是存在的。

上述這些問題,一方面可經由實際去計算機率而解惑。例如,每期頭獎6個號碼裡,會有連號之機率約為0.56,有超過一半的機會。至於連續兩期,頭獎號碼有重覆的機率約為0.63,而至少有兩碼重覆之機率約為0.20。這些事件的機率均比我們想像中的大很多,所以發生是不足為奇的。何況大大小小有趣的事件其實很多,如6碼全為偶數,或6碼全在121等,即使每件事發生的機率不大,但因多少眼睛盯著那6碼,使得每一期總會讓人從6個中獎號碼中找到一些不尋常。另一方面我們要了解隨機的本質。將10個球隨機地丟進10個箱子中,你會不會以為每個箱子中各有一個球是最容易發生呢?非也!1個空箱、2個空箱,一直到7個空箱都比每箱中各有一球容易發生。以5個空箱來說,這個事件發生的機率,約為每箱中各有一球之機率的354倍。雖然是隨機地丟球,但結果是看起來不隨機的事件反較容易發生。這點違反一般人的直觀,其實仔細想想,每箱中要剛好各丟進一球才是高難度呢。大家應有底下的經驗:有時一天接到好幾通電話,有時連續幾天沒有一通電話,較少是每天接到一樣多的電話。這也是一樣的道理。

如果是每一組號碼中獎機率皆相同,那是否每次就隨便選6個號碼呢?樂透彩除了普獎(中三碼)是每人得200元,中四碼以上,皆是由中的人(或說中的號碼之擁有者)均分該獎之獎金。所以對同一獎項,中的人愈少,能分得的獎金便愈多。因此有底下兩個卑之無甚高論的規則。

1.      若簽兩注以上,不要有兩張超過三碼重覆。為什麼呢?我們以一極端的情況來說明。假設簽兩張號碼皆相同的注,則中頭獎的機率為5,245,786分之一,一旦中了,如果只有你一人中,你獨得該將金,一人擁有兩張彩券並沒有幫助。若有另一人亦中,則你得三分之二的頭獎獎金,餘此類推。但若簽兩張不一樣的號碼,則中頭獎的機率為5,245,786分之一的兩倍,很容易看出此時中頭獎的獎金之期望值較大。前述較佳策略就是指所得之期望值較大的意思。要先提高中獎機率才有獎金可言。報載有人以包牌的方式花了一萬餘元,簽了210注,共中獎金1億餘元。如果你確定頭獎號碼就在某10個號碼中,則就用10個號碼去組合當然是好策略。但誰能事先打包票知道那10個號碼會涵蓋頭獎號碼呢?報紙只刊載包牌中大獎者,卻不登更多包牌而痛哭者。

2.      要儘量簽冷僻的號碼。德國樂透彩是496。漢茲(Henze(1997)一文)曾對德國19931016日那一期銷售的6,803,090張彩券做分析。並列出最暢銷的二十組號碼。排名第一的是7, 13, 19, 25, 31, 37,共賣出4,004張,排名第二的是7, 14, 21, 28, 35, 42,共賣出3,817(這一組亦常是英國及美國加州最暢銷的號碼,加州在1988年此組號碼全年共賣出16,771張。二地樂透彩皆是496)。一直到排名20都還賣出1,317張。第一組是將7依序加6,第二組是將7依序加7。這是很多人的習慣,他們以為這樣子將數字分開最好,殊不知人同此心。你看出問題所在了吧!簽這種號碼,如果幸運地中頭獎,總獎金以1億元計,每人只能分到兩萬多元。中獎者可能會從喜極而泣轉為悲從中來。曾有人研究購買樂透彩券者有三種型態:第一種是簽注很明顯就是暢銷的號碼,如上一期頭獎號碼,或1, 2, 3, 4, 5, 6等。這種當然不是明智的選擇。另一種屬於較迷信者,專簽諸如生日的排列組合。此情況可能會造成數字都偏小,因此可能會有很多人與你簽的號碼相同(月份只有112,日期只有131)。第三型就是較聰明的一類,會儘量選非暢銷的號碼,以免太多人來均分獎金。奉勸彩迷們,對於各個神桌或土地公所提供的明牌,務必敬而遠之。

樂透彩雖能帶給人很大的刺激,但只能淺嚐即止,付出愈多失望愈大。每期買幾張好玩就可以了。有人很豪放地拿出10萬元投入,再將中的獎金繼續投入。你知道1個月也就是8期之後,會成為多少嗎?由於期望值是0.56倍,花一百元平均只能拿回56元,所以一期後,約成為100,000×0.56元,即56,000元,兩期後約成為56,000×0.56元,即31,360元。依此類推,8期後約成為100,000×(0.56)8元,即約967元。10萬元1個月後僅餘967元,若投資100萬元則1個月後餘9,670元。玩樂透彩就如紅樓夢四十七回裡鳳姐所說「這一吊錢,頑不了半個時辰,那裡頭的錢就招手叫他了。」不要只看到有人僅簽一注或兩注便中了上億,或上千萬元的獎金。這表示更多人是連五成六的本金都拿不回。這就是機率,有東家長便有西家短。你可以拼經濟,可以拼政治,打口水戰也可以,但千萬不要想挑戰機率。十年才能贏得青樓薄倖名。在樂透世界裡,想跟機率拼的人,只要1個月便可贏得公益名。

一些與彩券有關的機率,可在「機率統計網路學習館」找到,網址是http://probstat.nuk.edu.tw/,這是設在國立高雄大學應用數學系的網站。

 

 

進一步閱讀資料

 

1.      吳程遠譯(1999). 這個不科學的年代(Feynman, R. P. 原著:The Meaning of It All: Thoughts of a Citizen-Scientist)。天下遠見出版股份有限公司,台北。

2.      葉偉文譯(2001). 統計改變了世界(Salsburg, D. 原著:The Lady Tasting Tea)。天下遠見出版股份有限公司,台北。

3.      盛逢時譯(2001). 數字的陷阱(Bruce, C. 原著:Conned Again, Watson! Cautionary Tales of Logic, Math, and Probability)。時報文化出版企業股份有限公司,台北。

4.      王業鈞譯(2001). 你賭對了嗎?(Bennett, D. J. 原著:Randomness)。新新聞文化事業股份有限公司,台北。

5.      Henze, N. (1997). A statistical and probabilistic analysis of popular lottery tickets. Statistica Neerlandica, Vol. 51, No. 2, pp. 155-163.