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民國91年1月起,台北銀行發行彩券,其中“樂透彩”採 42 選 6 的玩法。即自 1 至 42 的號碼中,選出六個下注(不可重覆)。只要六個號碼全中即為頭獎,與開出的號碼順序無關。又另外開一特別號。中五碼及特別號為貳獎,中五碼為參獎,中四碼為肆獎,中三碼為普獎。每期提撥之總獎金,為當期銷售總金額的 56% (一張樂透彩券賣 50 元)。普獎獎金每張 200 元,在普獎的獎金分配完後,將剩餘的獎金以 38%, 12%, 15%, 35%分到頭獎、貳獎、參獎、肆獎。頭獎至肆獎,若有數人同中某獎項,則均分該獎之獎金。 (i)各獎之中獎機率如下: 頭獎:, 貳獎:, 參獎:, 肆獎:, 普獎:。 (ii)其他一些相關機率如下: 恰中兩個號碼:, 恰中一個號碼: , 六個號碼都不中:, 中大樂透之頭獎(49選6):, 中小樂透之頭獎(31選5):。 (iii)設某期共賣出樂透彩a張,則當期各獎總獎金的期望值如下: 頭獎總獎金:, 貳獎總獎金:, 參獎總獎金:, 肆獎總獎金:, 普獎總獎金: 。 (iv)設某期樂透彩銷售總金額為b元,則當期各獎總獎金的(近似)期望值如下: 頭獎總金額:0.171422787b, 貳獎總金額:0.054133511b, 參獎總金額:0.067666889b, 肆獎總金額:0.157889409b, 普獎總金額:0.1088874b。 (v)第一期樂透彩銷售總金額為776,273,750元,即共賣出15,525,475張,依上述公式,估計出各獎之獲獎張數及總獎金如下。 頭獎2.95張,總獎金133,071,010元, 貳獎17.75張,總獎金42,022,424元, 參獎621.51張,總獎金52,528,030元, 肆獎27,968.30張,總獎金122,565,404元, 普獎422,632.15張,總獎金84,526,430元。 實際各獎之獲獎人數及總獎金如下: 頭獎0張,總獎金136,345,482元, 貳獎6張,總獎金43,056,468元, 參獎338張, 總獎金53,820,585元, 肆獎20,014張,總獎金125,581,365元, 普獎379,547張,總獎金75,909,400元。 提撥之總獎金:434,713,300元。
(圖片來源:台北銀行) 註(i) 普獎獎金總額以總獎金之50%為上限,以保障大獎中獎人之獎金不至於太低。不過這是很難發生的,因為普獎總獎金的期望值,佔提撥總獎金之比率約為: , 遠小於50%。 (ii) 若某期某一獎項無人獲得,則該獎之獎金移至下期同一獎項,最多累積5期。若連續5期無人獲獎時,則累積之獎金併入次期之總獎金中,再加上普獎總獎金並未固定,因此實際上每期頭獎至肆獎之總獎金是有波動的,並不固定佔該期銷售總金額之若干比率。 (iii) 由於並不計開出的6個號碼之順序,故可開出號碼的組合共有 (組)。 如果是一排6個空格,每空格要自1至42中,任選一號碼來填寫,順序對才算中獎,則總共的可能性,便有組。 (iv) 頭獎中獎機率為,而非。後者是開出一組特定的號碼,如{1, 2, 3, 4, 5, 6},而你也剛好選此組號碼之機率。{1, 2, 3, 4, 5, 6}至{37, 38, 39, 40, 41, 42},總共有組,若你剛好選中開出的那組便中獎,並不限選中{1, 2, 3, 4, 5, 6}才中獎,因此中頭獎之機率仍為。 (v) 貳獎為中五個號碼(有組),且另一碼沒有選擇只能與特別碼一樣,因此最多可以有組。 (vi) 參獎為中五個號碼(有組),且另一碼不能與特別號一樣(否則就是貳獎了),可自剩餘的42-6-1=35碼中任選一碼,因此最多可以有組。 (vii) 肆獎為中四個號碼(有組),另二碼可自剩餘的42-6=36碼(包含特別號)中任選二碼,因此最多可以有組。同理可得普獎最多可以有組。當然實際上不見得每組號碼都有人投注,就像頭獎也不見得有人獲得。 (viii) 普獎之中獎機率為,而非 。後者是自42個號碼中任挑3個之中獎機率。普獎之中獎機率比此機率大多了。 (ix) 六個號碼都不中,比恰中一個號碼還難。 |
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