黃文璋

國立高雄大學應用數學系

1.      明牌與名牌

何謂明? <<爾雅釋言>>：明，朗也。<<廣韻庚韻>>：明，光也。<<易繁辭下>>：日往則月來，月往則日來，日月相推而明生焉。明還有很多意思，大部分是好的，如明亮，明白，明察，聰明，賢明，神明。又如以明天、明年表次日、次年，即含有對未來存有盼望，希望它是“明”的。

至於名呢？通常意思也均不錯，名字、名分、名目、功名、成名、有名等，總是代表一種好的名聲。

時至今日，則明牌、名牌充斥。玩樂透彩、進股市要買明牌，逛街購物要買名牌。明牌與名牌成了大家所嚮往的。名牌與高價位往往密不可分，追求名牌會千金散盡不復回，是可以理解的。但在樂透世界裡，追求明牌，常也沒有什麼好下場，所謂我本將心向明月，誰知明月照溝渠。究竟是怎麼回事。

在論語衛靈公篇，子貢問曰：「有一言而可以終身行之者乎?」子曰：「其恕乎！己所不欲，勿施於人。」這不就是弟子向孔子求明牌嗎？求的是終身奉行的準則。

求明牌倒沒有什麼不對，只是往往人們追求的是名牌，誤把名牌當明牌。要知顧名思義，名牌是較易認出的，明牌則常不是那麼容易分辨的。名牌有時也是明牌。劉備在見到諸葛亮之前，已從司馬徽及徐庶處，對諸葛亮佩服不已。所謂此人有經天緯地之才，管仲、樂毅不及，若得此人，無異周得呂望，漢得張良也。大家也知道劉備得了諸葛亮，才有後來的三分天下。這就是名牌也是明牌的一個例子。至於名牌而非明牌的例子，則不勝枚舉，名不副實，浪得虛名者，充斥於歷史上。我們應該是要明牌而非名牌。

2. 是否有明牌？

在樂透世界裡，是否有明牌存在呢？目前北銀的樂透彩是由1至42的號碼中，隨機地產生6個頭獎號碼，我們稱為42取6。一般可以有n取r的樂透彩。在42取6的樂透彩裡，頭獎號碼為

組中的某一組，每一組都有相同的機率產生。即任何一組號碼會是頭獎號碼的機率為

。

這個機率當然很低，要憑運氣中獎實在很難，最好是能知道那一組號碼，或者是那幾個號碼比較可能出現。也就是有沒有明牌？

921地震與331地震，間隔了921天，可見921三個數字是很特別的。這一期會開出這組頭獎號碼，可見此6個號碼碼氣很旺，下一期說不定也會出現。有些號碼的確出現的較頻繁，39號還連續出現5次。印證是有較熱門的號碼。令人懷疑號碼並非隨機地產生。明牌似乎是有的。神啊！許我一個明牌吧！

究竟號碼是不是隨機地出現呢？

3.      你了解隨機嗎？

隨機常與機會均等、均勻分佈等同義。先看底下的例子。

例1. 假設有2個箱子，將2個球分別隨機地放進其中一箱。即每一個球均有1/2的機率放進任何一箱中。而每箱中各恰有一球的機率為

。

如果是3個球隨機地放進3個箱子中, 則每箱中各恰有一球的機率為

。

如果是10個球隨機地放進10個箱子中, 則每箱中各恰有一球的機率為

。

n個球隨機地放進n個箱子中，則每箱中各恰有一球的機率為，此值隨著n之增大而漸減。

上述現象，可能違反一般人的直觀。10個球隨機地放進10個箱子中，每個箱子中各恰有一個球，應是最均勻的，結果卻是極不容易發生。反而是不均勻的情況，即至少有一箱子中有兩個以上的球很容易發生，機率為

甚至一箱中有2球，8箱中各有一球，另一空箱的機率為

為每箱中各恰有一球的機率之45倍。

令每箱中各恰有一球的機率為a。 再給一些例子如下：

(a) 1箱中有3球，7箱中各有一球，另2空箱，其機率為60a。

(b) 2箱中各有3球，2箱中各有2球，另6空箱，其機率為(35/4)a。

(c) 2箱中各有4球，2箱中各有1球，另6空箱，其機率為(35/16)a。

(d) 1箱中有1球，1箱中有2球，1箱中有3球，1箱中有4球，另6空箱，其機率為(35/2)a。

(e) 1箱中有6球，1箱中有2球，2箱中各有1球，另6空箱，其機率為(7/4)a。

(f) 5箱中各有2球，另5空箱，其機率為(63/8)a。

有些看起來很偏頗的事件，其發生的機率卻比很均勻的事件之機率大。我們引出恰有i個空箱的機率如下：

(i)            0空箱之機率為a。

(ii)          1空箱之機率為45a。

(iii)         2空箱之機率為375a。

(iv)        3空箱之機率為980a。

(v)          4空箱之機率為(7609/8)a。

(vi)        5空箱之機率為(2835/8)a。

(vii)       6空箱之機率為(6821/144)a。

(viii)     7空箱之機率為(311/168)a。

(ix)        8空箱之機率為(511/40320)a。

(x)          9空箱之機率為a/9!。

老師上課點學生上台，每次均隨機地點，一學期下來，就是有幾位學生被點不只一次，有幾位學生卻從未被點過。

上天對每一個人可能無意有差別待遇，但結果是抱怨禍不單行者不少，慶幸好事連連者也不少。

在紅樓夢的第八回，賈寶玉去探望薛寶釵，正在閒聊。一語未了，忽聽外面的人說：『林姑娘來了。』話猶未完，黛玉已搖搖擺擺的進來，一見寶玉，便笑道：『哎喲！ 我來的不巧了！』寶玉等忙起身讓坐。寶釵笑道：『這是怎麼說？』黛玉道：『早知他來，我就不來了。』寶釵道：『這是什麼意思？』黛玉道：『什麼意思呢？ 來呢，一齊來，不來，一個也不來。今兒他來，明兒我來，間錯開了來，豈不天天有人來呢？也不至太冷落，也不至太熱鬧。姐姐有什麼不解的呢？』

例2.  20個球隨機地取兩個球，每次取出後放回，兩個球皆相異之機率為

會有重複之機率為

。

從10n個數，隨機地取n個，每次取出後放回，會有重複之機率為

。

種類愈多，愈容易有不均勻、看起來不隨機的現象。如果做芝麻餅，希望芝麻很均勻，可否隨機地撒呢？你現在知道了，不可以，否則芝麻必是有些地方很多，有些地方很稀疏。隨機下的後果，往往是不均勻。

在沈默的羔羊(The Silence of the Lambs)那部電影裡，有底下一句話：

Doesn’t this random scattering site scenes desperately random, like the elaboration on bad liar.

這些隨機散佈的地點，不是極度地隨機嗎？就像差勁的騙子精心設計的謊言。

看起來很隨機，反而會像精心設計的謊言！老師點名如果是隨機地點，是很難每次都點不同的人。樂透彩，如果每個號碼出現的頻率都一樣，或連續幾期開出的號碼都不一樣，反而才該懷疑。

事件發生的機率雖小，但從每期開出的6個頭獎號碼，難免可找到一些特殊性質。

例3. 在42取6的樂透彩裡，偶數共有21個，從此21個號碼中挑6個，共有

(組)。

故6碼全為偶數之機率為

同理，6碼全為奇數，6碼全在1至21，6碼全在22至42，機率均約為0.0103。

 所以每期頭獎號碼全為偶數或全為奇數，或全在1至21，或全在22至42，其機率約為

                                              。

甚至6碼全為3的倍數，全不為3的倍數，…，認真地找，總可從6碼中找到某一性質，這並不奇怪，不要因此懷疑號碼並非隨機地出現。

有些事件發生的機率並沒有想像中的小。見底下的例子。

例4. 在n取r的樂透彩中，會有連號的機率為

。

若是42取6，則此機率為

。

有超過二分之一的機會有連號。因此看到連號不用太驚訝。

    再看生日問題。

例5. 一房間中n個人生日皆相異之機率為

。

至少有2人生日相同之機率為

。

另外，至少有一人生日與你相同之機率為

要使, 解出n>253。

    要在一班上找到有兩人生日相同很容易，但要找到有人與“你”生日相同，很不容易。這就是所謂今生緣 vs. 他生緣。

4. 當稀有碰到大數

一件事若發生在每個人身上的機率為百萬分之一，則台灣兩千三百萬人，每天發生二十餘件是毫不稀奇的。樂透彩中獎機率雖很低，但若每一期賣出上千萬張，則有幾個人中頭獎，是很合理的。這個道理應不難弄明白。

例6. 美國紐約時報曾在第一版(1986年2月14日)報導一位名叫Adams的女士第二度贏得紐澤西(New Jersey)州的樂透彩頭獎。1985年10月24日，她第一次得三百九十萬美元，第二次則得一百五十萬美元。這是紐澤西州第一次有人得到兩次百萬美元以上獎金的樂透彩。

    第一次樂透彩是39取6，中頭獎之機率為

。

第二次樂透彩是42取6，中頭獎之機率為

。

樂透彩主辦單位說一生中中兩次頭獎之機率為

。

約十七兆分之一。

    這樣算對嗎?

    上述計算是假設Adams只在兩週買彩券：當玩法為39取6時買一張, 玩法為42取6時買一張。事實上Adams買週買好幾張且買了好幾年。而且在第一次中頭獎後，便增加買的張數。若在39取6的玩法裡，每週買3張，在42取6的玩法裡每週買5張，則每週大約都有百萬分之一的機率中頭獎。在4年(約200期，每週一期)裡，一次頭獎皆未中的機率約為

。

中一次頭獎的機率約為

中兩次頭獎的機率約為

。

約五千萬分之一。至於一個人終身(以30年，1,500期計)中兩次頭獎之機率則約為

。

超過百萬分之一。

    不論是五千萬分之一，或百萬分之一的機率，都很小。但紐澤西州有841萬人，若其中有一百萬人，一生中每期皆買5張彩券，則會有人一生中至少中兩次頭獎之機率便很大了：

。

若有五千萬人，每期至少買5張彩券，則大約4年，便會有人中兩次頭獎了：

。

。

1998年, Humphries第二度贏得賓州樂透彩頭獎，兩次合計有六百八十萬美元的獎金。

    千萬不要小看大數的威力。

5.      人的天性是否有隨機性？

我翻開報紙，新聞中這麼說：

「聯合國最新統計顯示，全球人口正快速老化。到二○五○年，慶祝百歲大壽的人，將是現在百歲人瑞的十五倍。

而一個人如果活到一百一十四歲，一生就擁有一百萬個小時可供揮霍，稱得上是『時間的百萬富翁』。 未來五十年，這種長壽的『時間的百萬富翁』將與日俱增。」

這可真是大新聞！

長壽是好事，不過可以活到一百一十四歲究竟算不算是好事，恐怕頗值得爭議。

我代替電視節目出征，站在路邊訪問經過的路人，隨機抽樣，盡量毫不偏私地呈現社會大眾的心聲。…

(90年4月14日中國時報39版，三少四狀集，黃明堅專欄，題目為活到一百一十四歲如何？)

例7. 人們有一奇怪的認知，就是覺得奇數較偶數隨機。美國有位教授曾對一班18位學生做下述實驗：每位學生從1至20的整數中，(自認)隨機地寫出5個(不重複)。

如果是簡單隨機取樣, 則5個數中有k個是奇數之機率為

。

下表給出觀測頻率及期望頻率，明顯地看出學生傾向寫較多的奇數。

例8. 愛爾蘭國家樂透彩(Irish National Lottery)亦為42取6。Boland and Pawi- tan(1999)曾收集三筆數據。他們在所開設的初等統計課程(那是一個大班)中，先向學生解釋何謂隨機數的生成，以及愛爾蘭國家樂透彩的玩法，然後要學生把自己當做是一隨機生成器，每人隨機地(不論大小順序)寫出一組頭獎號碼，如此得到234組號碼。第二筆數據是自西元1994年9月24日至1997年3月8日的樂透彩，共產生264組頭獎號碼。第三筆數據是以S-Plus統計軟體，模擬產生264組頭獎號碼。他們的目的是想知道個人當做隨機生成器的能力如何?

下表給出三筆數據之Q值。Q值愈大表愈不隨機。因

故顯然要拒絕學生所產生的號碼符合隨機。至於不論樂透彩之中獎號碼，及S-Plus所產生之號碼，均符合隨機性。

6.      如何挑明牌?

我們不是讓大家以為沒有明牌了嗎？那又如何排明牌呢?

德國49取6的樂透彩，共有13,983,816種組合，1993年10月16日共賣出6,803,090張彩券，其中賣出張數超過平均50倍的號碼共有2,588組，約佔全部賣出張數的0.038%：

。

但這2,588組號碼共賣出228,764張，約佔全部賣出張數的3.36%：

。

我們給出最熱門的20組號碼。

等差級數(No.1,2,4,5,6,7,8,9,10,14,15,16,19)，過去的頭獎號碼(No.3,11,12,13,17， No.3為上週，No.2為上二週, No.17為上三週)，修改過去頭獎號碼，別國頭獎號碼，與重大事件有關的號碼，都是一般人喜愛簽注的。參了熱門號碼，若中頭獎可能不太會快樂：假設頭獎獎金為1億元，若4,000人中，則每人分得

(元)。

        英國學者伊文(Ewen)曾說：

國家徵收樂透稅，愚人乖乖捧錢來，感謝讚美老天爺，輕輕鬆鬆錢落袋

Lotto’s a taxation, On all fools in the nation, But heaven be praised, It’s so easily raised.

挑選號碼有兩個簡單的規則：

1.      要盡量簽冷僻的號碼。

2.      若簽兩注以上，不要有兩注超過三碼重複。這是因中超過三碼，皆是中的人平分該獎項獎金。

最後問各位幾個問題

1.      電腦簽注好，還是人腦簽注好?

2.      包牌好不好？

3.      樂透彩之期望值為0.56倍，投資10萬元，8期後(約一個月，且不考慮稅金)，期望值為多少錢。