國立高雄大學統計學研究所
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主題:統計下凡(一)
發表者:黃文璋 Email:huangwj@nuk.edu.tw 日期:2021/6/13 下午 12:54:46

1 球賽裡的機率

眾所周知的NBA(National Basketball Association),乃北美(包括美國及加拿大)男子職業籃球聯盟,共有30支球隊。依球隊所在城市的地理位置,分東西兩區,每區各有15支球隊。每年依例行賽勝率排名,東西區各取8支球隊進入季後賽(因疫情的關係,自2020年起,各區例行賽的第710名要加打附加賽,以決定那兩隊成為能打季後賽的第78)。季後賽依強對弱的原則,且採74勝淘汰制。即第1輪進行每區排序第1對第8,第2對第7,第3對第6,第4對第5的系列賽,先獲4勝者晉級。每區進入第2輪的4支球隊,由第1輪第1對第8的勝隊,對上第4對第5的勝隊;第2對第7的勝隊,對上第3對第6的勝隊,兩支勝隊晉級第3輪。第3輪的74勝後,產生的東、西區冠軍再對打,先贏4場的球隊,便是年度總冠軍。

NBA的每支球隊,每年均有兩個目標,第一是進入季後賽,第二是得到總冠軍。能進季後賽,大致表這季的成績及格;而獲得年度總冠軍,對球隊及球員,甚至球隊所屬城市之居民,皆為莫大的榮耀。整個季後賽可說高潮迭起,場場扣人心弦、勝負令人關切。若毫無資訊,則“相同可能性”的概念,當然能派上用場。即兩支球隊交手,可假設兩隊獲勝的機率皆相同,即各為1/2。至於30隊,則假設每隊得年度總冠軍之機率皆相同,即各為1/30。只是NBA歷年來各種數據收集極為齊全,一場比賽才剛結束,球隊或某位球員破了什麼紀錄,立刻公佈。齊全的數據,使在NBA的預測勝負時,相同可能性的想法,很少能用得上。

競爭激烈下,風光難以維持太久。2020年季後賽通過第1輪的8支球隊,2021年僅剩三隊闖過第1輪;而2020年,爭奪總冠軍賽的湖人與熱火兩隊,更在2021年首輪便皆被淘汰出局。除了球是圓的外,基於各種因素,如球員可能失常、主場與客場有別(球迷的掌聲與噓聲,相當程度地影響球員的心理)、球員可能因傷下場或缺賽(短者缺幾場,長者整個球季都無法上場),再加上有時教練會讓主力球員輪休,因而球隊的表現,有很多不可測的因素。以2021年為例,NBA的例行賽,每隊皆打72(通常打82場,此季因疫情減少)30支球隊中,勝率最高的爵士隊輸了20(52場,勝率約0.722),輸的球隊中,不乏未進入季後賽者。至於勝率最低的火箭隊,仍贏了17(勝率約0.236),贏的球隊中,包括幾支強隊。可見再強的隊伍也沒有打不敗的,且再弱的隊伍也不見得完全不堪一擊。

不妨以簡單的投擲銅板為例。假設銅板A出現正面的機率為0.722,銅板B出現正面的機率為0.236。今各投擲1次,該如何預測出現的結果?預測銅板A出現正面,且銅板B出現反面,顯然極合理。但若有人鐵齒,預測銅板A出現反面呢?他有0.278的機率預測正確。此機率其實並非太小,約每34次便會有1次正確。現在來模仿NBA季後賽的晉級方式。投擲銅板A,要賭正面或反面先出現4次?不必想,便知該選正面。而且,由於賭對有4正、41反、42反,及43反等4種可能,且後3者的最後1次投擲須出現正面,利用排列組合,可求出贏的機率約為0.90068。超過9成的機率,算是相當高。但仍有約1成的機率會陰溝裡翻船。沒辦法,隨機現象就是如此。

球隊比賽與投擲銅板的情況當然大不相同。對於銅板,可耐操耐煩地讓人一再投擲,因而每次投擲出現正面的機率相同,且各次投擲間出現的結果相互獨立之假設,挑戰的人大概不會太多。至於球賽,不要說各場比賽對手不盡相同,且上場球員可能有異,就算對手及上場球員皆相同,球員的心理及體能等,也難維持不變。因而依前幾場球隊之表現及球員之近況,教練的戰術可能調整。即使球賽進行中,也隨時可能依戰況做調度。故對一特定的球隊,各場比賽獲勝的機率,難以假設皆相同,不同比賽間的結果,也難視為相互獨立。對一有兩個結果之隨機現象(如比賽有輸、贏,議題有支持、不支持等),常以簡單的投擲銅板來模擬,已發展出不少令人讚嘆的理論,並廣泛應用。但實務上,很多情況與投擲銅板當然大異其趣。因而若引用投擲銅板的理論,誤差不要說難免,若不謹慎,得到極荒謬的結論乃不足為奇。

ESPN(Entertainment Sports Programming Network)是美國一個24小時專播體育節目的有線電視聯播網。2021年季後賽開打前,ESPN所找來18個專家之分析預測中,有17個認為西區第4種子快艇隊在6場內(4041,或42),便會淘汰第5種子獨行俠隊,順利打進西區季後賽第2輪。一般認為,不論從球隊與球員的過往戰績,以及球隊的近況(所謂利用大數據),此預測相當合理。那我們可以說,快艇淘汰獨行俠的機率為17/18(即約0.9444)嗎?並無不可。正如若投擲一銅板18次,出現17次正面1次反面,有人遂以正面出現數之“相對頻率”17/18,來估計銅板出現正面的機率。

投擲銅板是用同一個,這群專家卻是不同的人,有人指出此疑點。是沒錯,但比賽前,兩隊究竟何者會晉級,本來就只有天曉得,17/18的機率,乃基於18個專家的看法,這難道不是一還算客觀的估計嗎?此作法並非不合理,總比1個人瞎猜精準。那有其他估計快艇會進入第2輪的機率之預測方式嗎?也是有的。例如,在例行賽中,兩隊共交手3次,獨行俠取得21敗的對戰優勢。獨行俠例行賽戰績雖不如快艇,或許打快艇卻特別有一套。若以1/3做為兩隊每次交手,快艇獲勝之機率,則快艇能晉級第2輪之機率,將由相當高的約0.9444降至僅379/2187,即約為0.1733。只是這樣的估計,很可能被會挑剔,因只憑交手少少的3次來估計,很難令人覺得夠精準。若兩隊曾對戰10次,此時以勝負結果來估計,準確度會被認為較高。

另外,說不定有人以為,進入季後賽便一切重來,他主觀地認定快艇與獨行俠能過關的機率相同,即皆為1/2。只是雖說主觀,他亦能講出其依據:快艇與獨行俠,例行賽在西區的排名分居45,差異不大,兩隊對戰的勝負為12,差異也不大。就算要說有差異,數據上顯示兩隊各一優一劣,算是平手。再加上快艇雖有雷納德及喬治兩大球星,獨行俠也有表現常如超人般的唐西奇,因而他覺得兩隊實力難分軒輊。可看出此君之估計雖說主觀,但也是跟據一些客觀的數據。

由上述討論知,即使擁有同樣的數據,人們對機率的判定,仍可能相差極大。且有時旁人視為主觀,自己卻認為客觀。那機率不是各說各話嗎?通常的確如此!事實上,平常諸多號稱專家,開口閉口“依據大數據…”,聽起來權威性十足,但數據躺在那裡,到底如何運用,很可能是相當主觀甚至隨意,並不見得皆具權威性。

賽前固然可大吹法螺,斬釘截鐵地做各種預測,一旦季後賽開打,預測是否準確,便要見真章了。快艇隊在例行賽的最後一場,以5分之差敗給西區排名倒數第2的雷霆隊,引起媒體奚落,說該隊“演很大”,因前一場快艇才輸給西區排名最後的火箭隊7分。以連敗兩場收尾,讓快艇例行賽的戰績,從原本的西區第3落至第4,因而季後賽首輪會對上排名第5的獨行俠。當時媒體報導,若快艇“正常”出賽,將有不小機會在季後賽首輪對決拓荒者,或者衛冕軍湖人,但快艇以為獨行俠較好打(去年季後賽,快艇以42擊敗獨行俠),於是快艇“故意”先後敗給西區倒數12名的火箭和雷霆兩隊。我們說過球隊可有各種策略,既然進入季後賽的目標已達成了,就開始布局下一個目標,至少能走愈遠愈好。媒體的報導,究竟是小人之心的猜測,或者揭發真相?當然就無從得知了。

媒體雖是取笑快艇,獨行俠卻顯得很不是滋味,因這表示他們被普遍認為實力遠不如快艇,只是這口氣只好暫時忍下來。季後賽首輪打了兩場後,快艇被嘲諷偷雞不成蝕把米─挑錯對手了,居然連敗兩場!ESPN找的那群專家灰頭土臉了嗎?只能啞巴吃黃蓮,因獨行俠在系列賽的前兩場,打出令人驚嘆的表現:第一埸以47.6%3分球命中率投進173分球;第2場再以52%3分球命中率投進183分球。這時快艇不再被看好了,有人以為他們晉級的機率,已差不多是0了。因如果再輸1場,便陷入03的落後,而NBA史上,在此之前,季後賽累計有140支陷入03落後困境的球隊,無一能逆轉成功。只是賽前不是說快艇有17/181/3,或1/2的機率過關嗎?怎麼如今第3戰尚未開打,便好像被當做已輸定了,且過關的機率被認為已與0差不多了?要知機率值會變是機率的特性,視已知的結果,機率值可能會隨之調整,這便是條件機率。當然也有不變的情況,如知道東區某隊之戰績,對屬於西區之快艇能晉級的機率,應不至於有影響,即此二事件乃相互獨立。附帶一提,前述歷來從03逆轉成功的數據,雖是來自不同年分的不同球隊,但在沒有其他更有效的參考數據下,總是一值得參考的依據。

雖被看衰,快艇並不氣餒,由02落後連贏兩場,將戰績扳成22平手。這時快艇重獲媒體青睞,再度好評連連,這是合理的。其實NBA球迷一向看好快艇,20215月中旬例行賽一落幕,依美國媒體報導,最新奪冠賠率也立刻出爐。最被看好的球隊是籃網(例行賽在東區排第2、全聯盟第4),其次是湖人(雖然因兩位主力球員受傷多時,他們例行賽戰績不佳,在西區排第7),第3即為快艇,優於居第4之全聯盟例行賽戰績最佳的爵士。至於獨行俠奪冠賠率榜上之看好度僅名列第1022平手後,第5戰唐西奇發威,率獨行俠力克快艇,取得32聽牌優勢。ESPN18位專家的預測,至此落空,因快艇已不可能在6場內淘汰獨行俠。當然快艇並非沒機會了,但必須能連勝兩場,以43晉級,否則便止步於第1輪。那個當初眾人不看好的獨行俠,真是讓大家滿地找眼鏡。

6戰快艇以10497擊敗獨行俠。退此一步即無死所,永不放棄的快艇主將雷納德大爆發,拿下45分。他全場投25(包含3分球)18,命中率高達驚人的72%,另加上4罰全進。NBA季後賽史上,他是第4位在球隊面臨淘汰時,拿下至少45分且命中率在7成以上的球員。罕見的紀錄,讓快艇免除以24飲恨,而將系列賽拉抬至33平手。如果雷納德在第6戰少進4球,則命中率仍有56,還是不錯,但便將少得至少8分,如此快艇便輸了。只是球賽當然無法有“如果”,那4次投籃不進後,怎知不會發生什麼對快艇有利的事?第7戰將一決生死。ESPN可能不必大費周章,再找任何專家來投票了。條件機率,經由這6場比賽下來,不論專家或非專家,大約都會覺得在這系列賽中,兩隊勢均力敵,因此應不必再分析了,藉投擲銅板預測那隊會晉級便可,反正兩隊晉級的機率,離1/2都不會太遠。但說不定也有人以為,球隊在主場向來較具優勢,但過去6戰,主場球隊全都輸球(創下NBA季後賽紀錄),顯示兩隊都不擅長打主場,第7戰回到快艇主場,數據會說話,不是該下注獨行俠了嗎?

7戰獨行俠的唐西奇大發神威,獲46分,14助攻及7籃板的驚人表現,另外,個人及球隊破了好幾項已高懸多年的NBA紀錄。快艇則轟進了203分球,之前季後賽搶7大戰的3分球命中數之紀錄,是由勇士和火箭隊,分別在20162020年所創的17(不過季後賽單場3分球的紀錄是25顆,由騎士隊在2016年所創;而例行賽單場3分球的紀錄是29顆,由公鹿隊在2020年所創)。兩隊連連打破紀錄,卻只能有1家歡喜。此系列賽首度由主場球隊獲勝,幸運的快艇以126111擊退獨行俠,挺進西區第2輪。ESPN的專家可鬆了一口氣,43敗,比他們預測的42敗有點誤差,但誰贏倒是講對了。

要知在壓力下,潛力是可能被激發出來的,只是雖人們皆知球賽完全不像持續投擲銅板,並不屬於重複觀測,卻仍常採用相對頻率的概念,以預測比賽結果。只能說機率原理在實際應用時,常不得不忍受誤差。雖誤差可能很大,但總比藉卜卦來預測好。無論如何,職業球賽裡,有各式各樣的數據,不看球賽轉播沒關係,但藉由分析比賽結果,將更能了解機率的涵義。

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更新日期:2022/1/19 上午 08:28:18

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