國立高雄大學統計學研究所
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主題:統計下凡(二)
發表者:黃文璋 Email:huangwj@nuk.edu.tw 日期:2021/6/20 上午 11:23:35

2 機率的涵義

我們現在知道了,機率有一些不同的涵義,底下將介紹幾個較常見的。首先機率是針對隨機現象而言。A君參加一梭哈(Show Hand)遊戲,一副52張的撲克牌,每人發5張,並觀測A君會拿到什麼樣的5張牌?這種事先不能預知結果之觀測(或說試驗),便稱為一隨機現象。甚至,為了包含更廣,即使事先能確定結果之觀測(如投擲一兩面皆為正之銅板,並觀測會出現什麼面),我們也視為一隨機現象,可稱為退化的隨機現象。對一隨機現象,所有可能出現的結果之集合,稱為樣本空間,常以希臘字母Ω表之。Ω中的每一元素,稱為一樣本,一樣本即表一觀測之可能的結果。而若干個(0個亦可)樣本的集合(Ω之一子集合,空集合亦可),便稱為一事件。對投擲一銅板,樣本空間不大,只包含正面及反面兩個元素,以{正面,反面},或就以{正,反}表之。至於對一梭哈遊戲,樣本空間就很大了,包含C(52,5)=2,598,960個,即共有兩百多萬個元素。

先看“古典的模式”,此乃以“相同的可能性”來解釋機率。古典的模式約產生於17世紀機率的萌芽期,這是“古典”一詞的由來。當時有些人會絞盡腦汁,求在梭哈遊戲(或其他賭戲)裡,各種事件發生的機率。如拿到葫蘆(Full house5張牌裡有3條及1)之機率為何?同花(Flush5張牌同一花色)4(Four of a Kind5張牌裡有4張同樣的點數)那一個大(機率愈小的事件便愈大)?不必多想便知,那時計算機率者,心中只會有相同的可能性。即想當然耳地以為,有辦法先將牌洗得無比均勻,使兩百多萬個可能的組合,出現之機率皆相同。如此利用排列組合,便求出拿到葫蘆之機率為3,744/2,598,960,即約為0.00144。又4條比同花大,兩者發生之機率分別為624/2,598,9605,108/2,598,960。如果牌洗不均勻怎麼辦?那時是無法考慮這種問題的。其他諸如銅板及骰子等,在機率發展的初期,往往不必說明,就逕自假設是公正。在古典的模式裡,若樣本空間裡有n個元素,即一觀測總共有n個可能的結果,便將每一結果出現的機率皆當做1/n。而對一包含k個元素之事件AA發生之機率,以P(A)表之,便為k/n

古典的模式並非通行無阻。例如,在NBA裡,數據就在那裡,怎還會假設30支球隊實力相當,因而每支球隊奪得年度總冠軍之機率皆為1/30?這種例子比比皆是,如銅板不必然就是公正,而自有良品及劣品之某批產品中任取一件,若良劣所佔比例不同,則會取中劣品之機率,豈能就當做1/2?既然古典的模式無法適用於所有隨機現象,其他機率的涵義便因應而生。

對一可重複觀測的隨機現象,如果對其中某事件B有興趣,則於觀測n次後,若B出現k次,我們便以B出現的相對頻率k/n,當做B之機率。此稱為以頻率來解釋機率,算是一種客觀的解釋。說客觀乃因就是重複觀測,讓數據說話,與誰來觀測無關。此種機率的觀點,稱為頻率的觀點,或客觀的觀點。直觀上,當觀測次數n愈大,相對頻率k/n,就愈接近B之機率P(B),只是實際上卻未必真會這樣。不同的人(或同一人在不同的時候)同樣觀測n次,B出現的次數,很難每回都相同。換句話說,B出現次數之相對頻率是波動的,從0(對應k=0)1(對應k=n)都有可能。即使觀測次數n再大,k/n也不一定會很接近P(B)。我們該修正一下前述直觀:只要n夠大,要多相信(即機率可任意接近1)相對頻率k/n會多接近P(B)(|k/n-P(B)|可小於任一正數),都辦得到。這樣講,或許有人覺得很抽象,但這涉及極限的概念,一時並不易解釋清楚,我們就此打住。

有客觀顯然便有主觀,隨機現象不乏無法重複觀測的。如中美大戰發生之機率為何?男孩C追上心儀女孩D之機率為何?這類事件之機率,恐怕皆無法經由重複觀測得知,往往只能主觀地認定,因而稱為主觀的解釋。此種機率的觀點,可稱為主觀的觀點,而所得之機率值便稱為主觀機率。對同一事件,不同人之主觀機率可能差異很大。如C信心滿滿地認為,追上D之機率為0.8,此乃因C注意到,D看到他都會微笑,顯然對他有好感。只是了解DC的好友E,卻認為C追上D之機率最多只有0.001,因D向來對人友善,看到人微笑,根本不足為奇,加上D已有相識多年的男友,目前一點都看不出D有移情別戀之跡象。另外,即使對能重複觀測的隨機現象,主觀機率仍不時能派上用途。如F就是堅定相信銅板是政府發行的,不可能偏頗,故投擲出現正面的機率,必為0.5。雖主觀機率也可能基於客觀的數據,只是對相同的數據,不同的人可能得到不同的機率。如對中美大戰發生之機率,m個專家之判斷便可能有m個。

雖說“古典”,至今仍經常出現在對機率的解釋中。例如,某國家考試,錄取並非依抽籤,每個人考上的機會自然有大有小,但由於報名者眾,錄取名額寡,在沒更好的辦法下,不少人會就簡單地由錄取率,來估計任一報名者之錄取機率。又,我們介紹的幾種機率之涵義,並非互不相容,有時會混著運用。如G校參加某項排球賽,分組預賽後,取6隊進入複賽,再取兩隊打決賽。G校了解自己實力不錯,初賽時主觀覺得己校能晉級之機率為0.86校進入複賽後,採單循環賽。G校覺得各校有不同策略上之運用,勝負難料,認為自己能進入決賽之機率為1/6,古典機率出現了。G校順利進入決賽後,查出過去一年,曾與對手交戰8次,53負,遂預估能獲冠軍之機率為5/8,這裡便用到頻率的觀點。

有人會說,在實際應用時,上述3種機率的涵義,都不能顯現精準性。例如,銅板怎確定毫無偏差?撲克牌又如何得知已洗均勻了?因而運用古典機率時,不是太草率嗎?甚至即使同一銅板,每次投擲的力道總會有差異,出現正面的機會不必然皆一樣,因而視為每次投擲一不同的銅板,說不定還較恰當些。更不要說以18個不同的人,其中17位支持某事件發生,就以17/18當做該事件發生的機率,意見來自不同的人,這豈能算是頻率的觀點,豈能宣稱是客觀的機率?至於主觀機率,既號稱主觀,固然可不追究機率的產生是否合理,但心裡想的機率,較可能是諸如0.20.7等,較簡單的數值,而不會有像是0.00144這類數值,這不是太粗枝大葉嗎?

鼎鼎大名的法國數學家及天文學家拉普拉斯(Pierre SimonMarquis de Laplace1749-1827),對機率的重要性極為推崇。他曾說,“這門源自考慮賭博中的機運之科學,必將成為人類知識中最重要的一部分,生活中最重要的問題中的大部分,都將只是機率的問題。”只是機率就算再怎麼重要,前述質疑仍皆有道理。即高高在上的機率,一旦落入凡間,的確常會顯得左支右絀,揮灑不自如。我們說過了,很多事件的機率,只有天曉得。但對某一有興趣的事件,若有人只是想粗略地知道其發生的機會有多大,那只好藉助上述幾種機率的簡單詮釋法。既然以簡易的方式來探索一未知的量,便不得不忍受難以避免的誤差。

事實上,3種機率的涵義,還有本質上的不足,那是更不容忽視的。例如,大家可能已看出來,在古典的模式裡,可能性之多寡(即樣本空間中的元素個數),隱含假設須為有限。即不能求諸如從自然數中任取一數,會取中3之機率。直觀上,此機率應為0,因自然數有無限多個。我們甚至知道,任一自然數,會被取中之機率皆為0。只是若真的去取,必會取中某一自然數,但不是才說任一自數被取中的機率皆為0,但機率是0的事件怎會發生?再仔細想,任取一自然數又是什麼意思?如何取?這些問題,在古典機率的時代,是無法解釋的。另外,在古典機率裡,所用到的工具,大抵就只有排列組合。不能討論極限,而所會用到的工具排列組合,在數學裡被認為頂多是計算有時複雜些,但一點都不深奧(僅屬於高中數學的範疇)。基於這些原因,一般數學家,怎會認為機率裡有什麼了不起的學問?

ESPN找來的那幾位專家,究竟功力如何?不知道!機率從來不是僅由幾次觀測的結果,就能論斷準確性。必須觀測多次,待數據夠多後,才能來檢驗。若對某事件發生的機率懷疑將如何?例如,有一原本被視為公正的銅板,但由投擲的經驗(頻率的觀點),懷疑該銅板出現正面的機率不為0.5;或懷疑(主觀的觀點)某廠牌手機電池,怎可能如其宣稱可待機長達10天。這些是常有的情況。再如某君施打了某廠牌之新冠肺炎疫苗,後來卻發現確診。有人解釋,此廠牌之疫苗,其療效之免疫力雖已達95%,但仍有5%會失效,該君就是屬於那倒楣的5%。真是這樣嗎?統計裡早已發展出一套假設與檢定的程序,可對懷疑的某假設做檢定。只是隨機世界裡常是真假難辨,銅板是否公正?只有天曉得!一切都是假設,就看接受那一個?

I女無法確定正交往中的H君,是否為她適合之對象?她遂先假設H君適合(秉持無罪推定的精神),然後開始觀測H君的表現,看他能否通過她所設定的條件。不難理解,一假設能否被接受,與條件有關,條件愈寬便愈易接受。眾所皆知,I女一旦接受H君,並不保證就找到真命天子。統計上,對一檢定,接受它,不表該假設必為真。只表在給定的條件下,能接受該假設。此正如擇偶一般。

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