2 機率的涵義

我們現在知道了，機率有一些不同的涵義，底下將介紹幾個較常見的。首先機率是針對隨機現象而言。A君參加一梭哈(Show Hand)遊戲，一副52張的撲克牌，每人發5張，並觀測A君會拿到什麼樣的5張牌？這種事先不能預知結果之觀測(或說試驗)，便稱為一隨機現象。甚至，為了包含更廣，即使事先能確定結果之觀測(如投擲一兩面皆為正之銅板，並觀測會出現什麼面)，我們也視為一隨機現象，可稱為退化的隨機現象。對一隨機現象，所有可能出現的結果之集合，稱為樣本空間，常以希臘字母Ω表之。Ω中的每一元素，稱為一樣本，一樣本即表一觀測之可能的結果。而若干個(0個亦可)樣本的集合(即Ω之一子集合，空集合∅亦可)，便稱為一事件。對投擲一銅板，樣本空間不大，只包含正面及反面兩個元素，以{正面，反面}，或就以{正，反}表之。至於對一梭哈遊戲，樣本空間就很大了，包含C(52,5)=2,598,960個，即共有兩百多萬個元素。

先看“古典的模式”，此乃以“相同的可能性”來解釋機率。古典的模式約產生於17世紀機率的萌芽期，這是“古典”一詞的由來。當時有些人會絞盡腦汁，求在梭哈遊戲(或其他賭戲)裡，各種事件發生的機率。如拿到葫蘆(Full house，5張牌裡有3條及1對)之機率為何？同花(Flush，5張牌同一花色)跟4條(Four of a Kind，5張牌裡有4張同樣的點數)那一個大(機率愈小的事件便愈大)？不必多想便知，那時計算機率者，心中只會有相同的可能性。即想當然耳地以為，有辦法先將牌洗得無比均勻，使兩百多萬個可能的組合，出現之機率皆相同。如此利用排列組合，便求出拿到葫蘆之機率為3,744/2,598,960，即約為0.00144。又4條比同花大，兩者發生之機率分別為624/2,598,960及5,108/2,598,960。如果牌洗不均勻怎麼辦？那時是無法考慮這種問題的。其他諸如銅板及骰子等，在機率發展的初期，往往不必說明，就逕自假設是公正。在古典的模式裡，若樣本空間裡有n個元素，即一觀測總共有n個可能的結果，便將每一結果出現的機率皆當做1/n。而對一包含k個元素之事件A，A發生之機率，以P(A)表之，便為k/n。

古典的模式並非通行無阻。例如，在NBA裡，數據就在那裡，怎還會假設30支球隊實力相當，因而每支球隊奪得年度總冠軍之機率皆為1/30？這種例子比比皆是，如銅板不必然就是公正，而自有良品及劣品之某批產品中任取一件，若良劣所佔比例不同，則會取中劣品之機率，豈能就當做1/2？既然古典的模式無法適用於所有隨機現象，其他機率的涵義便因應而生。

對一可重複觀測的隨機現象，如果對其中某事件B有興趣，則於觀測n次後，若B出現k次，我們便以B出現的相對頻率k/n，當做B之機率。此稱為以頻率來解釋機率，算是一種客觀的解釋。說客觀乃因就是重複觀測，讓數據說話，與誰來觀測無關。此種機率的觀點，稱為頻率的觀點，或客觀的觀點。直觀上，當觀測次數n愈大，相對頻率k/n，就愈接近B之機率P(B)，只是實際上卻未必真會這樣。不同的人(或同一人在不同的時候)同樣觀測n次，B出現的次數，很難每回都相同。換句話說，B出現次數之相對頻率是波動的，從0(對應k=0)至1(對應k=n)都有可能。即使觀測次數n再大，k/n也不一定會很接近P(B)。我們該修正一下前述直觀：只要n夠大，要多相信(即機率可任意接近1)相對頻率k/n會多接近P(B)(即|k/n-P(B)|可小於任一正數)，都辦得到。這樣講，或許有人覺得很抽象，但這涉及極限的概念，一時並不易解釋清楚，我們就此打住。

有客觀顯然便有主觀，隨機現象不乏無法重複觀測的。如中美大戰發生之機率為何？男孩C追上心儀女孩D之機率為何？這類事件之機率，恐怕皆無法經由重複觀測得知，往往只能主觀地認定，因而稱為主觀的解釋。此種機率的觀點，可稱為主觀的觀點，而所得之機率值便稱為主觀機率。對同一事件，不同人之主觀機率可能差異很大。如C信心滿滿地認為，追上D之機率為0.8，此乃因C注意到，D看到他都會微笑，顯然對他有好感。只是了解D之C的好友E，卻認為C追上D之機率最多只有0.001，因D向來對人友善，看到人微笑，根本不足為奇，加上D已有相識多年的男友，目前一點都看不出D有移情別戀之跡象。另外，即使對能重複觀測的隨機現象，主觀機率仍不時能派上用途。如F就是堅定相信銅板是政府發行的，不可能偏頗，故投擲出現正面的機率，必為0.5。雖主觀機率也可能基於客觀的數據，只是對相同的數據，不同的人可能得到不同的機率。如對中美大戰發生之機率，m個專家之判斷便可能有m個。

雖說“古典”，至今仍經常出現在對機率的解釋中。例如，某國家考試，錄取並非依抽籤，每個人考上的機會自然有大有小，但由於報名者眾，錄取名額寡，在沒更好的辦法下，不少人會就簡單地由錄取率，來估計任一報名者之錄取機率。又，我們介紹的幾種機率之涵義，並非互不相容，有時會混著運用。如G校參加某項排球賽，分組預賽後，取6隊進入複賽，再取兩隊打決賽。G校了解自己實力不錯，初賽時主觀覺得己校能晉級之機率為0.8。6校進入複賽後，採單循環賽。G校覺得各校有不同策略上之運用，勝負難料，認為自己能進入決賽之機率為1/6，古典機率出現了。G校順利進入決賽後，查出過去一年，曾與對手交戰8次，5勝3負，遂預估能獲冠軍之機率為5/8，這裡便用到頻率的觀點。

有人會說，在實際應用時，上述3種機率的涵義，都不能顯現精準性。例如，銅板怎確定毫無偏差？撲克牌又如何得知已洗均勻了？因而運用古典機率時，不是太草率嗎？甚至即使同一銅板，每次投擲的力道總會有差異，出現正面的機會不必然皆一樣，因而視為每次投擲一不同的銅板，說不定還較恰當些。更不要說以18個不同的人，其中17位支持某事件發生，就以17/18當做該事件發生的機率，意見來自不同的人，這豈能算是頻率的觀點，豈能宣稱是客觀的機率？至於主觀機率，既號稱主觀，固然可不追究機率的產生是否合理，但心裡想的機率，較可能是諸如0.2、0.7等，較簡單的數值，而不會有像是0.00144這類數值，這不是太粗枝大葉嗎？

鼎鼎大名的法國數學家及天文學家拉普拉斯(Pierre Simon，Marquis de Laplace，1749-1827)，對機率的重要性極為推崇。他曾說，“這門源自考慮賭博中的機運之科學，必將成為人類知識中最重要的一部分，生活中最重要的問題中的大部分，都將只是機率的問題。”只是機率就算再怎麼重要，前述質疑仍皆有道理。即高高在上的機率，一旦落入凡間，的確常會顯得左支右絀，揮灑不自如。我們說過了，很多事件的機率，只有天曉得。但對某一有興趣的事件，若有人只是想粗略地知道其發生的機會有多大，那只好藉助上述幾種機率的簡單詮釋法。既然以簡易的方式來探索一未知的量，便不得不忍受難以避免的誤差。

事實上，3種機率的涵義，還有本質上的不足，那是更不容忽視的。例如，大家可能已看出來，在古典的模式裡，可能性之多寡(即樣本空間中的元素個數)，隱含假設須為有限。即不能求諸如從自然數中任取一數，會取中3之機率。直觀上，此機率應為0，因自然數有無限多個。我們甚至知道，任一自然數，會被取中之機率皆為0。只是若真的去取，必會取中某一自然數，但不是才說任一自數被取中的機率皆為0，但機率是0的事件怎會發生？再仔細想，任取一自然數又是什麼意思？如何取？這些問題，在古典機率的時代，是無法解釋的。另外，在古典機率裡，所用到的工具，大抵就只有排列組合。不能討論極限，而所會用到的工具排列組合，在數學裡被認為頂多是計算有時複雜些，但一點都不深奧(僅屬於高中數學的範疇)。基於這些原因，一般數學家，怎會認為機率裡有什麼了不起的學問？

ESPN找來的那幾位專家，究竟功力如何？不知道！機率從來不是僅由幾次觀測的結果，就能論斷準確性。必須觀測多次，待數據夠多後，才能來檢驗。若對某事件發生的機率懷疑將如何？例如，有一原本被視為公正的銅板，但由投擲的經驗(頻率的觀點)，懷疑該銅板出現正面的機率不為0.5；或懷疑(主觀的觀點)某廠牌手機電池，怎可能如其宣稱可待機長達10天。這些是常有的情況。再如某君施打了某廠牌之新冠肺炎疫苗，後來卻發現確診。有人解釋，此廠牌之疫苗，其療效之免疫力雖已達95％，但仍有5%會失效，該君就是屬於那倒楣的5%。真是這樣嗎？統計裡早已發展出一套假設與檢定的程序，可對懷疑的某假設做檢定。只是隨機世界裡常是真假難辨，銅板是否公正？只有天曉得！一切都是假設，就看接受那一個？

I女無法確定正交往中的H君，是否為她適合之對象？她遂先假設H君適合(秉持無罪推定的精神)，然後開始觀測H君的表現，看他能否通過她所設定的條件。不難理解，一假設能否被接受，與條件有關，條件愈寬便愈易接受。眾所皆知，I女一旦接受H君，並不保證就找到真命天子。統計上，對一檢定，接受它，不表該假設必為真。只表在給定的條件下，能接受該假設。此正如擇偶一般。