3 公理化的機率

什麼是孝？在“論語”“為政篇”裡，孔子針對4個不同學生之提問，分別給出不同的回答。1個不夠，要將4個回答一起看，才能理解孔子心目中對孝的看法。很多概念可能都是這樣，在不同的情境下，有不同的解釋。至於我們之前介紹的3種機率之涵義，通常已能包含生活中大部分會遇到的隨機現象，其中所涉及的機率之意義，因而本來這3種對機率的解釋已足夠了。但數學裡追求的，或者說數學家探討的主要興趣，往往不是為了生活中之需要。就算問題始於實際生活中之遭遇，數學家向來習於一般化，進而追求抽象化，所得結果力求包含更多的情況。像是對於解一個特別的1元2次方程式，根本不以為值得一提，至少要給出一般式的解。積分也一樣，求出圓面積及圓錐體積等，其實已不容易了，卻仍難以滿足數學家的好奇心。不能只對一些特殊的圖形求其面積或體積，要就解決一般函數如何積分，而非求出一個又一個的特別函數之積分。

我們知道，人們最早理解的數是自然數，進而掌握整數及有理數，再來發現無理數的存在，因而了解實數系統。數學家融會貫通後，便引進以公理化的方式，來定義實數系統。也就是先給一集合，有人好奇此集合裡的元素究竟是什麼？無關緊要，連是否為數字都不用在意。然後對集合中的元素定義二運算，且給出該二運算必須遵循的10條公理(axiom，或說規則)。既然稱為實數，該二運算是否一為加法，一為乘法？很多人再度感到好奇，而數學家也再次指出，這一點都不重要，看此二運算滿足什麼條件才重要。要知“名”僅是表象，正如玫瑰之所以受人喜愛，乃因其優雅的外觀，及不同的花色能喚起人們不同的情感，而不是因為它叫玫瑰。但於細心觀察後，將可發現，我們原有的實數系統，完全滿足該公理化的實數系統。至於那兩個運算，可一個對應加法，一個對應乘法。也就是人們熟知的實數系統，乃為公理化的實數系統之一特例。

現在來看，如何以公理化的方式，來引進機率？我們先想，已知的3種機率的涵義，其中有那些要件？首先要有觀測的結果。我們遂給一集合Ω，稱做樣本空間。Ω便對應某一觀測之所有可能結果之集合。這集合要滿足什麼條件嗎？有，但實在不多，只要不是空集合即可。因一個什麼結果也沒有的觀測，豈值得討論？那可以只包含1個元素嗎？是可以，只是若只有1個可能的結果，不就是在觀測一退化的隨機現象嗎？通常人們對此興致不高。又，一定真要觀測什麼？那倒是不必，所謂觀測可以是虛擬的。就像有人講故事時，常以“從前有個美麗的公主”為開頭，既然是故事，便不必去追問“從前是什麼時候？”或“真有這個公主嗎？”。因而完全可以不必理會是否真有什麼觀測。

要談機率須有另一要件，那便是事件。所謂事件，乃我們有興趣，想給它一機率值之Ω的某一子集合。將所有事件聚在一起，構成一集合。此集合要滿足什麼條件嗎？有，就是我們要有足夠的包容性。有點像在擬婚宴賓客名單時，賓客可以很少，少到除男女雙方的父母外都不請，否則每增列1人，便可能會隨之增加幾個人。依所訂的規則，充實此事件之集合(每一事件皆為Ω之一子集合)F。如果不願多花腦筋，將Ω之所有子集合全找出來，所構成之事件的集合，也是可以。例如，假設Ω中有n個元素，則Ω共有2ⁿ個子集合，隨著n之成長，2ⁿ成長快速(n=10時，2ⁿ已是1,024)。但有時我們可能覺得，不必有這麼多事件，太累贅了。也就是說，表面上看來，我們是在對事件的集合設關卡，其實不然，乃是讓事件的集合更一般，可大可小。正如對於婚宴賓客名單，要求所有朋友全都要請，跟要求若請某群死黨中的1位，則這群人中的其他死黨也都得請，當然是後者較有彈性。例如，NBA有30支球隊，A君只對公鹿隊有興趣，想知道公鹿奪冠的機率，所以{公鹿奪冠}須為一事件。但豈能當鴕鳥，不想知道公鹿不奪冠之機率？所以{公鹿不奪冠}也須為一事件。而若不但想知道公鹿奪冠的機率，也想知道太陽隊奪冠的機率，則要求也得知道公鹿或太陽奪冠的機率，即{公鹿奪冠，太陽奪冠}也須為一事件。當有興趣的事件愈來愈多，事件的集合便愈來愈大了。

最後須有一機率函數P。所謂機率函數，乃對F中的每一事件A，給一P(A)，當做事件A之機率。機率函數，既然以機率之名，當然要符合人們向來對機率的認知，即須滿足一些基本的條件，如P(A)須介於0，1間等，否則便無法稱為機率了。樣本空間、事件的集合，及機率函數，三者便構成機率空間(Ω,F,P)。至此大家可看到，雖說抽象化，機率空間其實並不真那麼抽象，至少比有些經文具體多了。如金庸(1924-2018)武俠小說裡，宣稱練成後威力無窮的“九陰真經”，便處處難以體會。像是那句“天下之至柔，馳騁天下之至堅”，簡潔有力，令人不禁躍躍欲試。但到底如何馳騁呢？就沒說了。

已經運用幾百年的機率，為何須公理化，引進機率空間？首先公理化就是孔子講的“一以貫之”。不論採何種方式解釋機率，都可在機率空間裡，找到他以為的機率。另外，這樣抽象化後，再無銅板、骰子，或撲克牌等，便能討論較一般的問題，且樣本數可有無限多個。更重要的是，有夠多的理論可探討了。其實，與數學的其他領域相比，機率論的發展晚很多。我們說過，有很長一段時間，大部分的數學家，不過視機率為很低階的數學，並不太放眼裡。就是銅板、骰子或撲克牌，沒太多理論可討論。機率的公理化，乃要歸功於俄國的科莫果洛夫(Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903-1987)。教科書裡具開創性的數學家，大部分都是幾個世紀前的人物。科莫果洛夫的“機率論的基礎”(Foundations of the Theory of Probability)，出版於1933年，不到百年前。在這本少於100頁的小書中，他介紹了公理化的機率，且說“機率論作為一門數學學科，可以而且應該從公理開始發展，就如同幾何與代數一樣。”才年方30，便極具洞察力的科莫果洛夫，不卑不亢地將機率與已有兩千多年歷史的幾何與代數相提並論，進而使機率論提昇到另一層次。

公理化後，機率論便快速地發展，早已成為數學中一可與幾何與代數並駕齊驅的重要領域。只是對大部分的人來說，數不過是數字，根本沒必要理解公理化的實數系統。同樣地，大部分的人理解3種簡單的機率涵義，便已足足有餘了。那引進公理化的機率，究竟何用？我們說過了，對學者而言，往往會力求研究所得到的結果更一般化，成果能適用愈多的情況愈好。因此能在機率空間上探討問題，乃極大的成就。至於對一般人，當所討論有關機率的問題，淪於雞同鴨講、夾纏不清時，就要追究此處機率空間為何？正如在“莊子”“秋水篇”裡，當莊子發現，他與惠子的“魚樂之辯”，已是各說各話時，他說“請循其本。…。”機率裡的請循其本，就是找出機率空間。

由於樣本空間Ω中的元素不一定是實數，而人們較習慣處理實數，因而引進隨機變數(random variable)，即一從Ω對應到實數集合R的函數，不少人學機率時，便是從這裡開始迷失了。明明是一函數，卻稱變數，而且數學裡，函數通常以小寫英文字母f、g、h等表之，但對隨機變數，卻通常以大寫英文字母X、Y、Z等表之。又對一函數f，運算時，常寫成f(x)，其中x表其變數，但對一隨機變數X，卻常就單單寫X，較少附帶其變數。

另外，即使樣本空間Ω中的元素本就是實數，也常引進隨機變數。如令X表某一觀測的結果，而若觀測n次，則可令X₁，X₂，X₃，…，X_n，分別表n次觀測所得的結果。對一隨機變數X，P(X≤x)，表事件{X≤x}之機率，而函數F(x)=P(X≤x)，x∈R，便稱為隨機變數X之分佈函數。實務上，常遇到的隨機變數X，取值有兩大類。第一類是離散型，如X取值在有限集合{0,1,…,100}，或無限集合{0,1,…}等，這時函數p(x)=P(X=x)，其中x為X可能取的值，便稱為X之機率密度函數。第二類是連續型，如X取值在區間[0,1]、(0,∞)，或R等，此時若有一函數p(x)，使得P(X≤x)=p(x)在區間(-∞,x]之積分，則p(x)，x∈R，亦是X之機率密度函數。給了機率密度函數後，分佈函數便決定了。不同的隨機變數，可有相同的分佈函數，或就簡單地說有相同的分佈。但有相同的分佈之隨機變數，卻可能相差十萬八千里。有一些常見的分佈函數，待有機會再介紹。正如人的同名同性，兩個毫不相干之隨機變數，亦可能會有相同的分佈函數。

對一離散型的隨機變數X，假設所取可能的值為x₁，x₂，…，x_n，則x₁f(x₁)+x₂f(x₂)+…+x_nf(x_n)，便稱X之期望值，常寫成E(X)，且常以希臘字母μ來表示。若X可取無限多個可能的值，此時前述和便無止盡地延伸，而期望值就不一定存在了。又(x₁-μ)²f(x₁)+(x₂-μ)²f(x₂)+…+(x_n-μ)²f(x_n)稱為X之變異數，寫成Var(X)，常以σ²表之，其中σ>0，為一希臘字母。再度，若X可取無限多個可能的值，此時前述和便無止盡地延伸，那變異數就不一定存在了。至於連續型的隨機變數X，其期望值及變異數，分別為xf(x)，及(x-μ)²f(x)，在取值範圍內之積分，也都不一定存在。又，變異數之正平方根σ，即為標準差。期望值及標準差，是一分佈之兩個相當重要的值。