國立高雄大學統計學研究所
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主題:統計下凡(三)
發表者:黃文璋 Email:huangwj@nuk.edu.tw 日期:2021/6/27 下午 01:21:28

3 公理化的機率

什麼是孝?在“論語”“為政篇”裡,孔子針對4個不同學生之提問,分別給出不同的回答。1個不夠,要將4個回答一起看,才能理解孔子心目中對孝的看法。很多概念可能都是這樣,在不同的情境下,有不同的解釋。至於我們之前介紹的3種機率之涵義,通常已能包含生活中大部分會遇到的隨機現象,其中所涉及的機率之意義,因而本來這3種對機率的解釋已足夠了。但數學裡追求的,或者說數學家探討的主要興趣,往往不是為了生活中之需要。就算問題始於實際生活中之遭遇,數學家向來習於一般化,進而追求抽象化,所得結果力求包含更多的情況。像是對於解一個特別的12次方程式,根本不以為值得一提,至少要給出一般式的解。積分也一樣,求出圓面積及圓錐體積等,其實已不容易了,卻仍難以滿足數學家的好奇心。不能只對一些特殊的圖形求其面積或體積,要就解決一般函數如何積分,而非求出一個又一個的特別函數之積分。

我們知道,人們最早理解的數是自然數,進而掌握整數及有理數,再來發現無理數的存在,因而了解實數系統。數學家融會貫通後,便引進以公理化的方式,來定義實數系統。也就是先給一集合,有人好奇此集合裡的元素究竟是什麼?無關緊要,連是否為數字都不用在意。然後對集合中的元素定義二運算,且給出該二運算必須遵循的10條公理(axiom,或說規則)。既然稱為實數,該二運算是否一為加法,一為乘法?很多人再度感到好奇,而數學家也再次指出,這一點都不重要,看此二運算滿足什麼條件才重要。要知“名”僅是表象,正如玫瑰之所以受人喜愛,乃因其優雅的外觀,及不同的花色能喚起人們不同的情感,而不是因為它叫玫瑰。但於細心觀察後,將可發現,我們原有的實數系統,完全滿足該公理化的實數系統。至於那兩個運算,可一個對應加法,一個對應乘法。也就是人們熟知的實數系統,乃為公理化的實數系統之一特例。

現在來看,如何以公理化的方式,來引進機率?我們先想,已知的3種機率的涵義,其中有那些要件?首先要有觀測的結果。我們遂給一集合Ω,稱做樣本空間。Ω便對應某一觀測之所有可能結果之集合。這集合要滿足什麼條件嗎?有,但實在不多,只要不是空集合即可。因一個什麼結果也沒有的觀測,豈值得討論?那可以只包含1個元素嗎?是可以,只是若只有1個可能的結果,不就是在觀測一退化的隨機現象嗎?通常人們對此興致不高。又,一定真要觀測什麼?那倒是不必,所謂觀測可以是虛擬的。就像有人講故事時,常以“從前有個美麗的公主”為開頭,既然是故事,便不必去追問“從前是什麼時候?”或“真有這個公主嗎?”。因而完全可以不必理會是否真有什麼觀測。

要談機率須有另一要件,那便是事件。所謂事件,乃我們有興趣,想給它一機率值之Ω的某一子集合。將所有事件聚在一起,構成一集合。此集合要滿足什麼條件嗎?有,就是我們要有足夠的包容性。有點像在擬婚宴賓客名單時,賓客可以很少,少到除男女雙方的父母外都不請,否則每增列1人,便可能會隨之增加幾個人。依所訂的規則,充實此事件之集合(每一事件皆為Ω之一子集合)F。如果不願多花腦筋,將Ω之所有子集合全找出來,所構成之事件的集合,也是可以。例如,假設Ω中有n個元素,則Ω共有2n個子集合,隨著n之成長,2n成長快速(n=10時,2n已是1,024)。但有時我們可能覺得,不必有這麼多事件,太累贅了。也就是說,表面上看來,我們是在對事件的集合設關卡,其實不然,乃是讓事件的集合更一般,可大可小。正如對於婚宴賓客名單,要求所有朋友全都要請,跟要求若請某群死黨中的1位,則這群人中的其他死黨也都得請,當然是後者較有彈性。例如,NBA30支球隊,A君只對公鹿隊有興趣,想知道公鹿奪冠的機率,所以{公鹿奪冠}須為一事件。但豈能當鴕鳥,不想知道公鹿不奪冠之機率?所以{公鹿不奪冠}也須為一事件。而若不但想知道公鹿奪冠的機率,也想知道太陽隊奪冠的機率,則要求也得知道公鹿或太陽奪冠的機率,即{公鹿奪冠,太陽奪冠}也須為一事件。當有興趣的事件愈來愈多,事件的集合便愈來愈大了。

最後須有一機率函數P。所謂機率函數,乃對F中的每一事件A,給一P(A),當做事件A之機率。機率函數,既然以機率之名,當然要符合人們向來對機率的認知,即須滿足一些基本的條件,如P(A)須介於01間等,否則便無法稱為機率了。樣本空間、事件的集合,及機率函數,三者便構成機率空間(Ω,F,P)。至此大家可看到,雖說抽象化,機率空間其實並不真那麼抽象,至少比有些經文具體多了。如金庸(1924-2018)武俠小說裡,宣稱練成後威力無窮的“九陰真經”,便處處難以體會。像是那句“天下之至柔,馳騁天下之至堅”,簡潔有力,令人不禁躍躍欲試。但到底如何馳騁呢?就沒說了。

已經運用幾百年的機率,為何須公理化,引進機率空間?首先公理化就是孔子講的“一以貫之”。不論採何種方式解釋機率,都可在機率空間裡,找到他以為的機率。另外,這樣抽象化後,再無銅板、骰子,或撲克牌等,便能討論較一般的問題,且樣本數可有無限多個。更重要的是,有夠多的理論可探討了。其實,與數學的其他領域相比,機率論的發展晚很多。我們說過,有很長一段時間,大部分的數學家,不過視機率為很低階的數學,並不太放眼裡。就是銅板、骰子或撲克牌,沒太多理論可討論。機率的公理化,乃要歸功於俄國的科莫果洛夫(Andrey Nikolaevich Kolmogorov1903-1987)。教科書裡具開創性的數學家,大部分都是幾個世紀前的人物。科莫果洛夫的“機率論的基礎”(Foundations of the Theory of Probability),出版於1933年,不到百年前。在這本少於100頁的小書中,他介紹了公理化的機率,且說“機率論作為一門數學學科,可以而且應該從公理開始發展,就如同幾何與代數一樣。”才年方30,便極具洞察力的科莫果洛夫,不卑不亢地將機率與已有兩千多年歷史的幾何與代數相提並論,進而使機率論提昇到另一層次。

公理化後,機率論便快速地發展,早已成為數學中一可與幾何與代數並駕齊驅的重要領域。只是對大部分的人來說,數不過是數字,根本沒必要理解公理化的實數系統。同樣地,大部分的人理解3種簡單的機率涵義,便已足足有餘了。那引進公理化的機率,究竟何用?我們說過了,對學者而言,往往會力求研究所得到的結果更一般化,成果能適用愈多的情況愈好。因此能在機率空間上探討問題,乃極大的成就。至於對一般人,當所討論有關機率的問題,淪於雞同鴨講、夾纏不清時,就要追究此處機率空間為何?正如在“莊子”“秋水篇”裡,當莊子發現,他與惠子的“魚樂之辯”,已是各說各話時,他說“請循其本。…。”機率裡的請循其本,就是找出機率空間。

由於樣本空間Ω中的元素不一定是實數,而人們較習慣處理實數,因而引進隨機變數(random variable),即一從Ω對應到實數集合R的函數,不少人學機率時,便是從這裡開始迷失了。明明是一函數,卻稱變數,而且數學裡,函數通常以小寫英文字母fgh等表之,但對隨機變數,卻通常以大寫英文字母XYZ等表之。又對一函數f,運算時,常寫成f(x),其中x表其變數,但對一隨機變數X,卻常就單單寫X,較少附帶其變數。

另外,即使樣本空間Ω中的元素本就是實數,也常引進隨機變數。如令X表某一觀測的結果,而若觀測n次,則可令X1X2X3Xn,分別表n次觀測所得的結果。對一隨機變數XP(Xx),表事件{Xx}之機率,而函數F(x)=P(Xx)xR,便稱為隨機變數X之分佈函數。實務上,常遇到的隨機變數X,取值有兩大類。第一類是離散型,如X取值在有限集合{0,1,…,100},或無限集合{0,1,…}等,這時函數p(x)=P(X=x),其中xX可能取的值,便稱為X之機率密度函數。第二類是連續型,如X取值在區間[0,1](0,∞),或R等,此時若有一函數p(x),使得P(Xx)=p(x)在區間(-∞,x]之積分,則p(x)xR,亦是X之機率密度函數。給了機率密度函數後,分佈函數便決定了。不同的隨機變數,可有相同的分佈函數,或就簡單地說有相同的分佈。但有相同的分佈之隨機變數,卻可能相差十萬八千里。有一些常見的分佈函數,待有機會再介紹。正如人的同名同性,兩個毫不相干之隨機變數,亦可能會有相同的分佈函數。

對一離散型的隨機變數X,假設所取可能的值為x1x2,…,xn,則x1f(x1)+x2f(x2)++xnf(xn),便稱X之期望值,常寫成E(X),且常以希臘字母μ來表示。若X可取無限多個可能的值,此時前述和便無止盡地延伸,而期望值就不一定存在了。又(x1-μ)2f(x1)+(x2-μ)2f(x2)++(xn-μ)2f(xn)稱為X之變異數,寫成Var(X),常以σ2表之,其中σ>0,為一希臘字母。再度,若X可取無限多個可能的值,此時前述和便無止盡地延伸,那變異數就不一定存在了。至於連續型的隨機變數X,其期望值及變異數,分別為xf(x),及(x-μ)2f(x),在取值範圍內之積分,也都不一定存在。又,變異數之正平方根σ,即為標準差。期望值及標準差,是一分佈之兩個相當重要的值。

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