國立高雄大學統計學研究所
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主題:統計下凡(五)
發表者:黃文璋 Email:huangwj@nuk.edu.tw 日期:2021/7/11 下午 01:42:04

5 條件機率()

我們已數度提到條件機率,簡單講,一事件在給定某條件下,會發生的機率,便稱條件機率。例如,投擲一公正的骰子,會出現點數1的機率為1/6。但若有人透露,出現面之點數為紅色,則因骰子只有14點為紅色,故此時會出現點數1的機率便改為1/2。條件機率的原理,看起來並不難。不過有時因所給的條件,是以一情境來表示,若解讀不同,所得之條件機率值,將差異不小。有時甚至不易確定,究竟那一解讀才是對的,這是條件機率常會令人對感到迷惑的原因。

先給一明確的定義。對一事件A,給定(或說知道等)事件B發生後,A發生的條件機率,以P(A|B)表之,且等於P(AB)/P(B),其中P(B)0。舉例而言,在前述擲骰子之例裡,A即出現點數1B即出現面之點數為紅色,因AB={1},而P(AB)=1/6P(B)=2/6,即得P(A|B)=1/2。又在P(A|B)的定義中,由於置於分母,故要求P(B)0。有此要求是合理的,例如,投擲一公正的骰子,若被告知出現面之點數為綠色,求此時會出現點數1的機率。則只能對此問題棄之不理,因骰子並無綠色點數,P(出現面之點數為綠色)=0。給一發生機率為0的事件,正如來亂的,是不被允許的。

條件機率的出現,可說無所不在。自2020年初起,新冠肺炎的疫情,在極短時間內,便進入全球大流行,寶島台灣也無法倖免。多位醫學或公衛學者,不斷建議宜大量篩檢。病毒豈會無中生有?自20203月起,更有人提議入境普篩,並實施PCR檢測(Reverse transcriptase polymerase chain reaction,能驗出檢體中是否含有病毒的遺傳物質),如此才能有效防堵病毒於境外。只是此建議不但未被接納,且被某些人指責是企圖製造恐慌。從快篩、廣篩,到入境普篩等建議,就是想儘速找出感染者,以控制疫情。但由於台灣人民普遍自律性高,並善於保護自己,且政府仿上古時代,傳說中的鯀設堤治水的方式,對海外若干地區,採禁止入境措施,以將病毒阻絕於外,這對海島台灣易於執行,因而初期台灣的疫情尚非太嚴重。主事者遂信心滿滿,一直以花費太貴,且篩檢會有“偽陽性”及“偽陰性”,將浪費醫療資源的理由,極力阻擋篩檢。直到20215月,台灣疫情快速擴散,一時無法有效控制,而疫苗短缺的情況,又看不出何時能緩解,相關單位才不得不逐步同意篩檢。到後來連居家快篩試劑都開放了,在藥局或便利商店便可買到,採檢後若呈陽性,就要盡速到醫院再做PCR檢測。而在各界呼籲了一年多後,20216月底,相關單位才同意入境普篩。

偽陽及偽陰到底是什麼?居然能讓有些人如臨大敵般地藉此阻擋篩檢。

在電影或小說裡,偶會有女子拿著驗孕棒進入浴室,藉尿液來檢驗自己是否已懷孕之情境。檢驗有兩個結果,不妨分別以陽性及陰性稱之,前者表示已懷孕,後者表示未懷孕。若檢驗呈陽性反應,就會以為真懷孕了嗎?恐怕未必。一般會至醫院做進一步檢查以確認,檢查後若證實並未懷孕,則此陽性即偽陽性。同理,若檢驗呈陰性反應,並不代表就一定沒懷孕,驗孕時間太早、尿液檢體太稀,甚至操作錯誤,都可能影響檢測結果。若其實是懷孕,則此陰性便是偽陰性。擔心偽陰性者,可以多驗幾次以確定,這是何以有人驗孕棒一次並不只買一支。在家便能做的簡易檢驗,豈能要求百分之百可靠?但使用驗孕棒這類器材,畢竟是一相當方便的驗孕方式,視呈陽或呈陰,再進一步研判。所以雖可能有偽陽或偽陰的錯誤,仍常被使用。少有人會因擔心偽陽或偽陰,而反對採用驗孕棒。

廣義而言,不但大多數的檢驗(包括酒測)、各種考試測驗(包括智力測驗及心理測驗等),甚至生活裡的各種評比,都有相當於偽陽或偽陰之誤。即使法官也非個個是包青天,能我心如秤,總會有誤判與錯放,這是難以避免的。那不要法院了嗎?非也,就設置補救措施。如今怎麼醫學裡一項病毒篩檢的偽陽偽陰,會被某些人避如蛇蠍?

假設某傳染病之盛行率為10%,某區域住有1萬人,且全參與該病之篩檢,又設篩檢的準確率為98%。不利用條件機率的公式了,底下我們以直觀且簡易的方法,來看偽陽及偽陰的問題。依假設,該區域“平均”有9千人未感染,及1千人已感染。此處必須說明一下。要知盛行率10%,乃表每人會感染的機率為0.1;而篩檢準確率98%,乃表篩檢後,每位已感染者,有0.98的機率呈陽性反應,且有0.02的機率呈陰性反應,另外,每位未感染者,有0.98的機率呈陰性反應,且有0.02的機率呈陽性反應。對於隨機現象,談的是機率,因此我們才用“平均有9千人未感染,及1千人已感染”。不過為了簡便,底下皆略去“平均”一詞。經篩檢後,已感染的1千人中,有980人呈陽性,20人呈陰性;未感染的9千人中,有8,820人呈陰性,180人呈陽性。故總共呈陽性的1,160(=980+180)人中,有980人真已感染,至於另180人便是偽陽者,180/1,160,約15.52%;而呈陰性的8,840(=20+8,820)人中,有8,820人真未感染,至於另20人便是偽陰者,20/8,840,約佔呈陰性者的0.23%。而呈陽性者,僅佔總人數的11.6%,若都去做進一步較精細的檢驗,則其中將有15.52%的檢驗會是虛工(這應就是反對篩檢者所認為的浪費醫療資源)。雖有虛工,但若要全部1萬人去做較精細的檢驗,可能相當不容易,而要已呈陽性者去做進一步的檢驗,他們的意願將會高多了,且由1萬人降至1,160人,醫院的負荷也小很多。至於偽陰者,不論人數或所佔比率其實都很低。若若擔心偽陰的問題,則有如驗孕,呈陰性者可再驗一次。任一已感染者,兩次皆驗出陰性之機率僅為0.004(=(1-0.98)2),偽陰者很難不被校正出。偽陰者的比率很低,難道此篩檢對呈陰性者較準確嗎?倒也不是這樣。此因該病之盛行率本來就不高,僅有10%,因而任何一人屬於感染者的機率原本就較低,再經檢驗呈陰性下,會屬於未感染者的機率就更加提高(0.9977)。又,偽陽(180)及偽陰(20)者,共200人,佔總共1萬人中的2%,這是對的,因篩檢的準確率是98%

底下將上述傳染病之盛行率降低至1%,其他條件不變,看會有什麼改變。依假設,該區域有9,900人未感染,100人已感染。篩檢後已感染者中,有98人呈陽性,2人呈陰性;未感染者中,有9,702人呈陰性,198人呈陽性。故總共呈陽性的296人中,有98人真被感染,至於另198人便是偽陽者,約佔66.89%;而總共呈陰性的9,704人中,有9,702人真未被感染,至於另2人便是偽陰者,約佔0.021%。呈陽性者,僅約佔總人數的2.96%,若都去做較精細的檢驗,則其中將約有高達66.89%的檢驗會是虛工。至於偽陰者,再度不但人數較少,且所佔比率更低了。又,偽陽(198)及偽陰(2)者,共200人,符合準確率為98%。由本例可看出,當盛行率較低,偽陽者之比率會隨之提高,但此時篩檢仍是有效的,畢竟只需讓較少的人,去進一步做較耗工的檢驗。一般而言,對於罕見病(即盛行率較低),受檢驗著若呈陽性,並不必過早擔憂。

現假設傳染病之盛行率1%,而篩檢的準確率降為95%,其他條件不變。依假設,該區域有9,900人未感染,100人已感染。篩檢後已感染者有95人呈陽性,5人呈陰性;未感染者中,有9,405人呈陰性,495人呈陽性。故總共呈陽性的590人中,有95人真被感染,另495人為偽陽性,約佔83.90%;而總共呈陰性的9,410人中,有9,405人真未被感染,另5人便是偽陰性,約佔0.053%。呈陽性者,僅約佔全人口5.90%,若都去做進一步的檢驗,則其中將有高達83.90%的檢驗會是虛工。顯示若準確率降低,則偽陽者之比率會提高。至於偽陰者,比率有提高些,但0.053%仍不算高。雖此篩檢看起來對未感染者仍較準確,但此仍因該病之盛行率僅有1%,故任何一人會未感染的機率本來就有99%,再經檢驗呈陰性下,會未感染的機率(9405/94100.9995)就更加提高了。又,偽陽(495)及偽陰(5)者,相加得500人,符合準確率95%。由本例可看出,當準確率降低,雖偽陽者之比率會提高,但此時篩檢依然有相當效果。

我們再改變一下條件。假設某傳染病之盛行率0.1%,而篩檢的準確率為90%,其他條件不變。依假設,該區域有9,990人未感染,10人已感染。篩檢後已感染者有9人呈陽性,1人呈陰性;未感染者,有8,991人呈陰性,999人呈陽性。故總共呈陽性的1,008人中,有9人真被感染,另999人為偽陽性,約佔99.11%;而總共呈陰性的8,992人中,有8,991人真未被感染,另1人為偽陰性,約佔0.011%。呈陽性者,約佔全人口10.08%,若都去做進一步的檢驗,則其中將有高達99.1%的檢驗會是虛工。本例顯示,當盛行率更低且準確率亦下降,將會造成更高比率的偽陽性。至於呈偽陰者,此時比率很低,僅約0.011%,此仍是因全部的人中感染者之比率本就很少,才約0.1%。又,偽陽(999)及偽陰(1)者,相加為1,000人,與準確率90%相吻合。由本例可看出,即使準確率僅90%,雖因而偽陽性極高,但僅須10.08%的人再驗驗,若此傳染病極令人擔憂,則篩檢便依然值得。

讀者不妨自行改變盛行率及篩檢的準確率,將發現如同驗孕棒,在大部分合理的情況下,篩檢乃有助於找出已感染者,且能讓人心安,並未有須大力阻擋的必要。當然若盛行率實在太低,如0.01%(平均1萬人才1位感染),或篩檢的準確率太低,如只有85%(這種篩檢效果未免太差),則可能便真不太有必要篩檢了。

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