6 條件機率(二)

條件機率之出現，可說無所不在。底下是一測謊之例，這當然也會有偽陽與偽陰的問題存在。某公司有一項業務機密外洩，安全主管擬藉測謊以找出洩密者，於是鎖定公司內幾位他認為較有嫌疑者來測謊。這樣做恰當嗎？

假設測謊的準確度為9成、有100人經手該項業務，且其中僅1人洩密。則全部100個經手者皆測畢後，平均將有10.8(=1×0.9+99×0.1)人顯示洩密(陽性)，但其中平均僅有0.9人的確洩密(也就是洩密者並不見得在那10.8個呈陽性者中)，另9.9人其實未洩密(偽陽者)。因此經測謊後，每一位可疑者，僅有1/12(=0.9/10.8，約0.083)的機率洩密。此顯示，主事者絕不可抱著“若沒洩密何須必擔心測謊？抗拒測謊便是心虛”之心態。另一方面，平均有89.2人顯示未洩密(陰性)，其中平均有89.1人的確未洩密，僅0.1人真洩密(偽陰者)。換句話說，此測謊對判定人的清白較有效。但這是合理的，因任選一人，他本來便有高機率(0.99)是清白的。由上述計算得知，經“普測”後，是有助公司縮小可疑者的範圍。但對找到真正洩密者，還有一段路要走，因此絕不能把測謊當做唯一的辦案工具。更何況，若公司並非採普測，只是主觀地挑選1、2個“看起來不夠忠誠的人”來測謊，並對測謊未過者高度懷疑其忠誠度，則便很可能會製造出冤屈了。因測謊準確度雖達9成，表面上看起來不低，但任一無辜者，皆有0.1的機率測謊不通過。更何況測謊的準確度若實際沒有9成那麼高，或慣犯者較清白者更熟如何對抗測謊，則測謊的有效性便將更降低了。總之，測謊如同疾病之篩檢，是一種本該有用的輔助工具，但就是須善用，而非迷信其效益。

條件機率在實務上，有時會眾說紛紜，得到不同的機率值，但卻各自以為正確。其根本原因，常就是對情境的解讀不同。這原本不足為奇，就像1950年出品的日本電影“羅生門”，對同一情境，眾人各說各話，毫無交集，使真相難以大白。但對於涉及機率的問題，有時不易讓人領悟，也會因羅生門之故，或者根本是給的條件不夠明確，才把眾人搞糊塗，而冒然怪罪機率不可信。

先來看著名的“汽車與山羊問題”(Car-Goat Problem)。簡單描述如下：A君被邀請參加某電視節目，現場有3扇門，其中1扇門後有汽車，另兩扇門後為山羊。A君選擇一扇門(不妨假設是第1扇)，門後將是他的獎品。主持人打開另一扇門(不妨假設是第3扇)，見到山羊，問A君要不要換選？當然若要換，只有第2扇門能換了。“標準答案”是“該換”。不必多說明，換或不換，乃基於換選後，得到山羊的機率會不會提高。很多人覺得不用換，因原本汽車在每扇門後的機率皆為1/3，如今知道汽車不在第3扇門後了，利用條件機率的思維，將得汽車在第1扇門及第2扇門後的機率，皆成為1/2，因此換門是多此一舉。主張該換的人則認為，主持人事先必然知道汽車在那一扇門後，因而他會打開一扇後面是山羊的門(否則遊戲便進行不下去了)，而原本汽車在第2或第3扇門後的機率，其和為2/3，現既知汽車不在第3扇門後了，因此第2扇門後就獨自擁有全部2/3的機率，於是該換選擇的結論便浮出了。若實際去計算，將會印證此結論。有些主張不必換的人，堅持主持人事先並不知汽車在那1扇門後，他只是隨機地自第2及第3扇門中，任挑一扇打開，而剛好門後是山羊，因而換或不換，得到汽車之機率皆為1/2。這自然也並非不可能，將門全打開後，說不定汽車果真在第1扇門後呢！但我們早說過，機率從來不是依少數幾次的結果，去論斷準或不準。只是主持人非為節目效果配合製作單位開門，他事先並不知汽車在那一扇門之後，只是臨時起意地打開一扇門，且剛好該門後是山羊，這種畢竟是較罕見的情況。

現在我們提出一情況，讓讀者跟“汽車與山羊問題”比較。C君去找朋友D君，到後忘了門號，只知是某相鄰3間之一。任挑一間後，C君正要敲門時，另兩間有間開門出來一位金髮婦女抱著一嬰兒，於是他確定D君不住那家。那他是否該換一家門敲，因選對的機率將由1/3提高至2/3？標準答案是“不必換”。原因就留給讀者自行思考了。

再看一例。有一張在公園裡的照片，標示“史密斯家庭”(Smith family)，其中有4人：一中年男子、一中年女子、一站著吹泡泡且穿著裙子的女孩，及一跪在地上摟著狗穿著短褲的小孩，大半身體被遮住了，看不出其性別。問：摟著狗的小孩是女孩的機率為何？這是一有兩個小孩的家庭，男子及女子，顯然是此家庭的爸爸跟媽媽。首先若看不出兩小孩誰大誰小，則將所給的條件，解讀為“此家至少有一女孩”，似乎是合理的。我們來看如何求解？此時問題不過是求條件機率P(E|F)，其中E為此家兩小孩皆為女孩，F為此家至少有一女孩。在此家有兩個小孩下，E={女女}，F={女女，女男，男女}，其中“女男”表老大是女孩老二是男孩，餘類推。又E∩F=E。在生男及生女的機率皆為1/2，且各次生孕皆相互獨立的假設下(這是一般可接受的假設)，P(E∩F)=P(E)=1/4，P(F)=3/4，故

P(E|F)=P(E∩F)/P(F)=1/3。

其次，若能看出吹泡泡的女孩，體型明顯大很多，應是老大，則仍有E={女女}，但F={女女，女男}，此時P(E∩F)=P(E)=1/4，且P(F)=1/2，故P(E|F)=1/2。同理，若能看出看出吹泡泡的女孩為老二，則亦有P(E|F)=1/2。

若吹泡泡那小孩為男孩呢？令G為此家兩小孩中一為男孩一為女孩，H為此家至少有一男孩，欲求P(G|H)。因G={男女，女男}，H={男男，男女，女男}，故

P(G|H)=(1/2)/(3/4)=2/3。

其次，若能看出吹泡泡的男孩為老大，則G={男女}，但H={男女，男男}，此時P(G|H)=1/2。同理，若能看出看出吹泡泡的男孩為老二，則亦有P(G|H)=1/2。

上述答案令有些人感到訝異，因既然生男及生女的機率皆視為1/2，則無論如何，任一摟著狗、遮著臉、站窗簾後，或只要看不出性別的小孩，會是女孩的機率，不都應為1/2嗎？結果居然與家中另一小孩的性別及排序有關！這些不同的答案提醒我們，“家裡至少有一女孩”，與“老大是女孩”，此二條件是不同的。還有，若照片未標示“史密斯家庭”，則在公園裡的那4人，可能毫不相干。這麼一來，因看不見容貌，故摟著狗的小孩是女孩的機率，只能當做1/2了。

另外，可能有人會說，既然照片中吹泡泡的女孩穿裙子，那表示史密斯家讓女孩穿裙子，則因摟著狗的小孩穿短褲，那便應是男孩，因而摟著狗的小孩是女孩的機率為0。但這可就難說了。不過假設有人看過報導，家中若有兩個小孩，“小的”那個較會去摟抱狗，則吹泡泡的小孩便較可能是老大，這時便會傾向選1/2這個答案。總之，這種以一情境來表示一條件，有時的確會流於各說各話，並無標準答案。我們說過，機率並非以少數幾次來判斷準或不準，有時須經由長期觀察，才知某一情景如何解讀較可能是對的。

再看一類似的問題。有對夫妻剛搬進某社區，社區管理員I君，只知他們家有兩個小孩而不知性別。某日，I君見到此家之媽媽，帶著一叫她媽媽的女孩，在社區公園玩耍。問此家兩小孩皆為女孩之機率為何？

既然看到媽媽帶著一女兒，此時求兩小孩皆為女孩之機率，不就是求留在家中那小孩為女兒之機率嗎？又因生男及生女的機率皆為1/2，故所求之機率不應為1/2嗎？或者如前述摟著狗的小孩，是女孩的機率為1/3。事實上，這兩個答案都不見得正確。此問題比我們想像的複雜許多，關鍵在於如何解讀事件“見到此家媽媽帶著一女兒”，沒錯，此事件導致“此家至少有一女兒”，但二事件等價嗎？恐怕未必。既看到帶個女兒，則家中便不可能有2男；而若有2女，帶出門的當然是女兒，這是確定的。但當兩小孩性別不同(即有1男1女)時，在只帶1個小孩出門之下，媽媽究竟如何選擇帶那位？若見過統計，(1)媽媽必帶老大(或必帶老二)，此時所求機率為1/2；(2)媽媽必帶女兒，此時所求機率為1/3。甚至在其他不同的假設下，本問題的答案差異將極大。

我們給最後一例。有J及K二君在玩一如下賭戲：J君投擲2銅板，K君則猜兩面相同或相異，L君則擔任裁判。不妨就假設2銅板皆為公正，故此為一公正賽局。賭戲開始，當J君擲出2銅板後，M君經過，順口說“有一正面”。裁判L君不滿M君破壞賭戲之公正性。因如同上述“史密斯家庭”之例，在“此家至少有一女孩”的條件下，“此家兩小孩皆為女孩”之機率成為1/3，如今原本兩面相同及相異的機率皆為1/2，在M君說出“有一正面”(如同至少有一女孩)後，K君便知兩面相同(兩小孩皆為女孩)之機率由1/2降為1/3，因而他必會猜兩面相異，如此猜對機率將提高至2/3。M君不以為然，覺得自己無意也沒有影響賭戲。他說那如果他說“有一反面”，K君不是也該猜兩面相異嗎？因猜對機率亦能提高至2/3。但擲2銅板，必有正面或反面，於是只要他說話，就算K君沒聽清楚，只聽到“有一X面”，K君便該猜兩面相異。甚至，只要K君“以為”M君有說話，在透露訊息，便都該猜兩面相異。天下居然有這種怪異的事？

事實上，M君說“有一正面”，與說“至少有一正面”，此二事件並不等價。假設M君只是多嘴，卻實話實說的人。即當兩面皆為正面，他便說“有一正面”；當兩面皆為反面，他便說“有一反面”;而當有一正面及一反面時，他便各以1/2的機率，說“有一正面”，或“有一反面”。過程留給讀者，可求出

P(M君說有一正面)=P(M君說有一反面)=1/2，

P({兩面相同}∩{M君說有一正面})=P({兩面相異}∩{M君說有一正面})=1/4。

故

P(兩面相同|M君說有一正面})=P(兩面相異|M君說有一正面)=1/2。

因而M君的確並未破壞賭戲之公正性。當然亦可求出

P(兩面相同|M君說有一反面)=P(兩面相異|M君說有一反面)=1/2。

也就是不論M君說“有一正面”，或“有一反面”，皆未提供任何有用的資訊給K君。

生活上處處都是條件機率，要想善用機率，弄懂條件機率絕對是必要的。條件機率之進一步討論，可參考黃文璋(2010)，機率應用不易，數學傳播季刊，34(1)：14-28一文。