國立高雄大學統計學研究所
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主題:統計下凡(六)
發表者:黃文璋 Email:huangwj@nuk.edu.tw 日期:2021/7/18 下午 12:12:50

6 條件機率()

條件機率之出現,可說無所不在。底下是一測謊之例,這當然也會有偽陽與偽陰的問題存在。某公司有一項業務機密外洩,安全主管擬藉測謊以找出洩密者,於是鎖定公司內幾位他認為較有嫌疑者來測謊。這樣做恰當嗎?

假設測謊的準確度為9成、有100人經手該項業務,且其中僅1人洩密。則全部100個經手者皆測畢後,平均將有10.8(=1×0.9+99×0.1)人顯示洩密(陽性),但其中平均僅有0.9人的確洩密(也就是洩密者並不見得在那10.8個呈陽性者中),另9.9人其實未洩密(偽陽者)。因此經測謊後,每一位可疑者,僅有1/12(=0.9/10.8,約0.083)的機率洩密。此顯示,主事者絕不可抱著“若沒洩密何須必擔心測謊?抗拒測謊便是心虛”之心態。另一方面,平均有89.2人顯示未洩密(陰性),其中平均有89.1人的確未洩密,僅0.1人真洩密(偽陰者)。換句話說,此測謊對判定人的清白較有效。但這是合理的,因任選一人,他本來便有高機率(0.99)是清白的。由上述計算得知,經“普測”後,是有助公司縮小可疑者的範圍。但對找到真正洩密者,還有一段路要走,因此絕不能把測謊當做唯一的辦案工具。更何況,若公司並非採普測,只是主觀地挑選12個“看起來不夠忠誠的人”來測謊,並對測謊未過者高度懷疑其忠誠度,則便很可能會製造出冤屈了。因測謊準確度雖達9成,表面上看起來不低,但任一無辜者,皆有0.1的機率測謊不通過。更何況測謊的準確度若實際沒有9成那麼高,或慣犯者較清白者更熟如何對抗測謊,則測謊的有效性便將更降低了。總之,測謊如同疾病之篩檢,是一種本該有用的輔助工具,但就是須善用,而非迷信其效益。

條件機率在實務上,有時會眾說紛紜,得到不同的機率值,但卻各自以為正確。其根本原因,常就是對情境的解讀不同。這原本不足為奇,就像1950年出品的日本電影“羅生門”,對同一情境,眾人各說各話,毫無交集,使真相難以大白。但對於涉及機率的問題,有時不易讓人領悟,也會因羅生門之故,或者根本是給的條件不夠明確,才把眾人搞糊塗,而冒然怪罪機率不可信。

先來看著名的“汽車與山羊問題”(Car-Goat Problem)。簡單描述如下:A君被邀請參加某電視節目,現場有3扇門,其中1扇門後有汽車,另兩扇門後為山羊。A君選擇一扇門(不妨假設是第1),門後將是他的獎品。主持人打開另一扇門(不妨假設是第3),見到山羊,問A君要不要換選?當然若要換,只有第2扇門能換了。標準答案”是“該換”。不必多說明,換或不換,乃基於換選後,得到山羊的機率會不會提高。很多人覺得不用換,因原本汽車在每扇門後的機率皆為1/3,如今知道汽車不在第3扇門後了,利用條件機率的思維,將得汽車在第1扇門及第2扇門後的機率,皆成為1/2,因此換門是多此一舉。主張該換的人則認為,主持人事先必然知道汽車在那一扇門後,因而他會打開一扇後面是山羊的門(否則遊戲便進行不下去了),而原本汽車在第2或第3扇門後的機率,其和為2/3,現既知汽車不在第3扇門後了,因此第2扇門後就獨自擁有全部2/3的機率,於是該換選擇的結論便浮出了。若實際去計算,將會印證此結論。有些主張不必換的人,堅持主持人事先並不知汽車在那1扇門後,他只是隨機地自第2及第3扇門中,任挑一扇打開,而剛好門後是山羊,因而換或不換,得到汽車之機率皆為1/2。這自然也並非不可能,將門全打開後,說不定汽車果真在第1扇門後呢!但我們早說過,機率從來不是依少數幾次的結果,去論斷準或不準。只是主持人非為節目效果配合製作單位開門,他事先並不知汽車在那一扇門之後,只是臨時起意地打開一扇門,且剛好該門後是山羊,這種畢竟是較罕見的情況。

現在我們提出一情況,讓讀者跟“汽車與山羊問題”比較。C君去找朋友D君,到後忘了門號,只知是某相鄰3間之一。任挑一間後,C君正要敲門時,另兩間有間開門出來一位金髮婦女抱著一嬰兒,於是他確定D君不住那家。那他是否該換一家門敲,因選對的機率將由1/3提高至2/3?標準答案是“不必換”。原因就留給讀者自行思考了。

再看一例。有一張在公園裡的照片,標示“史密斯家庭”(Smith family),其中有4人:一中年男子、一中年女子、一站著吹泡泡且穿著裙子的女孩,及一跪在地上摟著狗穿著短褲的小孩,大半身體被遮住了,看不出其性別。問:摟著狗的小孩是女孩的機率為何?這是一有兩個小孩的家庭,男子及女子,顯然是此家庭的爸爸跟媽媽。首先若看不出兩小孩誰大誰小,則將所給的條件,解讀為“此家至少有一女孩”,似乎是合理的。我們來看如何求解?此時問題不過是求條件機率P(E|F),其中E為此家兩小孩皆為女孩,F為此家至少有一女孩。在此家有兩個小孩下,E={女女}F={女女,女男,男女},其中“女男”表老大是女孩老二是男孩,餘類推。又EF=E。在生男及生女的機率皆為1/2,且各次生孕皆相互獨立的假設下(這是一般可接受的假設)P(EF)=P(E)=1/4P(F)=3/4,故

P(E|F)=P(EF)/P(F)=1/3

其次,若能看出吹泡泡的女孩,體型明顯大很多,應是老大,則仍有E={女女},但F={女女,女男},此時P(EF)=P(E)=1/4,且P(F)=1/2,故P(E|F)=1/2。同理,若能看出看出吹泡泡的女孩為老二,則亦有P(E|F)=1/2

若吹泡泡那小孩為男孩呢?令G為此家兩小孩中一為男孩一為女孩,H為此家至少有一男孩,欲求P(G|H)。因G={男女,女男}H={男男,男女,女男},故

P(G|H)=(1/2)/(3/4)=2/3

其次,若能看出吹泡泡的男孩為老大,則G={男女},但H={男女,男男},此時P(G|H)=1/2。同理,若能看出看出吹泡泡的男孩為老二,則亦有P(G|H)=1/2

上述答案令有些人感到訝異,因既然生男及生女的機率皆視為1/2,則無論如何,任一摟著狗、遮著臉、站窗簾後,或只要看不出性別的小孩,會是女孩的機率,不都應為1/2嗎?結果居然與家中另一小孩的性別及排序有關!這些不同的答案提醒我們,“家裡至少有一女孩”,與“老大是女孩”,此二條件是不同的。還有,若照片未標示“史密斯家庭”,則在公園裡的那4人,可能毫不相干。這麼一來,因看不見容貌,故摟著狗的小孩是女孩的機率,只能當做1/2了。

另外,可能有人會說,既然照片中吹泡泡的女孩穿裙子,那表示史密斯家讓女孩穿裙子,則因摟著狗的小孩穿短褲,那便應是男孩,因而摟著狗的小孩是女孩的機率為0。但這可就難說了。不過假設有人看過報導,家中若有兩個小孩,“小的”那個較會去摟抱狗,則吹泡泡的小孩便較可能是老大,這時便會傾向選1/2這個答案。總之,這種以一情境來表示一條件,有時的確會流於各說各話,並無標準答案。我們說過,機率並非以少數幾次來判斷準或不準,有時須經由長期觀察,才知某一情景如何解讀較可能是對的。

再看一類似的問題。有對夫妻剛搬進某社區,社區管理員I君,只知他們家有兩個小孩而不知性別。某日,I君見到此家之媽媽,帶著一叫她媽媽的女孩,在社區公園玩耍。問此家兩小孩皆為女孩之機率為何?

既然看到媽媽帶著一女兒,此時求兩小孩皆為女孩之機率,不就是求留在家中那小孩為女兒之機率嗎?又因生男及生女的機率皆為1/2,故所求之機率不應為1/2嗎?或者如前述摟著狗的小孩,是女孩的機率為1/3。事實上,這兩個答案都不見得正確。此問題比我們想像的複雜許多,關鍵在於如何解讀事件“見到此家媽媽帶著一女兒”,沒錯,此事件導致“此家至少有一女兒”,但二事件等價嗎?恐怕未必。既看到帶個女兒,則家中便不可能有2男;而若有2女,帶出門的當然是女兒,這是確定的。但當兩小孩性別不同(即有11)時,在只帶1個小孩出門之下,媽媽究竟如何選擇帶那位?若見過統計,(1)媽媽必帶老大(或必帶老二),此時所求機率為1/2(2)媽媽必帶女兒,此時所求機率為1/3。甚至在其他不同的假設下,本問題的答案差異將極大。

我們給最後一例。有JK二君在玩一如下賭戲:J君投擲2銅板,K君則猜兩面相同或相異,L君則擔任裁判。不妨就假設2銅板皆為公正,故此為一公正賽局。賭戲開始,當J君擲出2銅板後,M君經過,順口說“有一正面”。裁判L君不滿M君破壞賭戲之公正性。因如同上述“史密斯家庭”之例,在“此家至少有一女孩”的條件下,“此家兩小孩皆為女孩”之機率成為1/3,如今原本兩面相同及相異的機率皆為1/2,在M君說出“有一正面”(如同至少有一女孩)後,K君便知兩面相同(兩小孩皆為女孩)之機率由1/2降為1/3,因而他必會猜兩面相異,如此猜對機率將提高至2/3M君不以為然,覺得自己無意也沒有影響賭戲。他說那如果他說“有一反面”,K君不是也該猜兩面相異嗎?因猜對機率亦能提高至2/3。但擲2銅板,必有正面或反面,於是只要他說話,就算K君沒聽清楚,只聽到“有一X面”,K君便該猜兩面相異。甚至,只要K君“以為”M君有說話,在透露訊息,便都該猜兩面相異。天下居然有這種怪異的事?

事實上,M君說“有一正面”,與說“至少有一正面”,此二事件並不等價。假設M君只是多嘴,卻實話實說的人。即當兩面皆為正面,他便說“有一正面”;當兩面皆為反面,他便說“有一反面”;而當有一正面及一反面時,他便各以1/2的機率,說“有一正面”,或“有一面”。過程留給讀者,可求出

P(M君說有一正面)=P(M君說有一反面)=1/2

P({兩面相同}{M君說有一正面})=P({兩面相異}{M君說有一正面})=1/4

P(兩面相同|M君說有一正面})=P(兩面相異|M君說有一正面)=1/2

因而M君的確並未破壞賭戲之公正性。當然亦可求出

P(兩面相同|M君說有一反面)=P(兩面相異|M君說有一反面)=1/2

也就是不論M君說“有一正面”,或“有一反面”,皆未提供任何有用的資訊給K君。

生活上處處都是條件機率,要想善用機率,弄懂條件機率絕對是必要的。條件機率之進一步討論,可參考黃文璋(2010),機率應用不易,數學傳播季刊,34(1)14-28一文。

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