10 中位數

北美有四大職業運動聯盟，除NBA外，尚有NFL (National Football League，國家美式足球聯盟)、MLB(Major League Baseball，美國職業棒球大聯盟)，及NHL(National Hockey League，國家冰球聯盟)。若依聯盟的收入及影響力等來評比，NBA在四大聯盟裡，大約會落到第三。不過，若論球員薪資，NBA卻是排名第一。只是NBA有4、5百個球員，如何呈現球員之薪資呢？數據的代表值，最先想到的很可能是平均。但平均是球員薪資之恰當的代表值嗎？

2020年12月17日，有媒體報導，“依網站Statista的資料，四大聯盟中，今年(2020)賽季的球員平均年薪，以NBA球員的832萬美元居首，而且是平均年薪第二名MLB的403萬美元之兩倍以上。”雖被公佈平均年薪高達832萬美元(以今日匯率，約2.3億台幣)，但大多數的NBA球員，很可能會抱怨，大眾被平均誤導了，他們的收入遠比平均低多了。是這樣嗎？沒錯！同年4月18日有另一則報導，其中提到，“NBA現役有450位球員，…。2017年NBA球員平均年薪是693.6154萬美元，年薪中位數(median)是250萬美元，2019-2020球季的最低年薪則是89.331萬美元，低收入球員和頂薪球員間有極大差距。”報導中透露年薪中位數才約平均年薪的36.04%。再前一年(2019年)的1月22日，則有如下報導，“NBA再一次成為全世界球員平均年薪最高的聯賽，達到777.1萬美元；年薪中位數為432萬美元。”在此則報導裡，年薪中位數沒低那麼多，但也才約平均年薪的55.59%。我們再給一2018年2月24日的報導，“2017-2018賽季，NBA在球隊領薪水的共計有548人次(包括少數拿多份工資的)。而本賽季，NBA總薪資為33.5億美元，去掉短工(收入30萬以下的)，還有495名球員，人均薪水677萬美元…。我們看中位數，其中薪資排第248名的球員年薪329萬美元(拿同樣年薪的共計有4名球員)。”其中指出球員薪資的中位數，約為平均年薪的48.60%。又第248名剛好居全部495名的正中間，即說明中位數，乃排名“居中那位”。

也許年份及計算的基準不同，因連30支球隊的球員總數，都有548、495，及450等數字，上下差了將近1百人，導致前述數筆NBA球員年薪之平均及中位數，有不小差異，便不足為奇了。但3處提到年薪中位數，皆比平均年薪少很多，更有兩處的中位數連平均之半都不到。不難理解，這主要是因有些明星球員，年薪高達4、5千萬美元(甚至年薪還不是其主要收入，更多收入來自廣告代言等場外收入)，一支球隊中，兩個大牌球員的年薪(其高薪即所謂極端值)，常便超過全隊其他球員的年薪和，遂將球隊整體平均年薪大幅拉高。因而對職業運動，平均年薪往往不是球員薪資之最恰當的代表值，中位數才是。求一筆數據之中位數，看起來很簡單，只要將數據排序即得，不像平均，還要先求總和。

中位數常可消除極端值的影響。例如，對1，2，3，4，5，平均及中位數皆為3；但對1，2，3，4，5,000，平均為1,002，那一特別大的數5,000，讓平均數增大不少，但未更動中位數，仍為3。

再來看一則國內的報導。2020年12月23日，行政院主計總處發布標題為“108年工業及服務業受僱員工全年總薪資中位數及分布統計結果”之一則新聞，其中提到，“2019年工業及服務業受僱員工全年總薪資中位數為49.8萬元，…。薪資中位數是將員工依薪水由低至高排序，位處中間者的薪資即為薪資中位數，因此相較平均數容易受極端值影響，中位數更能反映多數民眾的薪資狀況。…，2019年全體工業及服務業受僱員工數為796.7萬人，薪資中位數為49.8萬元，意即有半數受雇員工年薪未達此水準，約398萬人。”其中說明為何採中位數，及中位數乃“位處中間”那數。

生活裡，人們求平均的機會多，求中位數的機會少，但直觀上，中位數就是正中間那數，倒不是困難的概念。學生時代，自小學起，便不時會按高矮排隊型，那時並未太在乎精準度，以目測差不多即可。身高居中的是那個？如果9個人，就正中間那位，即第5個的人之身高。如果10個人呢？沒有唯一的中間，那就中間兩位，即居第5及第6的兩個身高，都可算居中，反正差不了太多。若只能給一值呢？便取中間兩人身高之平均，還是同一句話，反正差不了太多。一般而言，設數據個數為n，將數據按小至大排序後，當n為奇數時，令第(n+1)/2個值為中位數；當n為偶數時，則第n/2，及(n+1)/2個，皆可為中位數，或者取第n/2，及(n+1)/2個之平均為中位數。當n為偶數時，若依第一個定義，中位數為數據中的某兩個；若依第二個定義，中位數乃唯一，但並不屬數據中的任一個。

其實人們對中位數如何產生？通常並不太計較。在求NBA球員年薪的中位數時，往往連球員總數，都搞不定，上下可差到約百人，因而正中間究竟是那位，並不易確定。另外，因受傷而整年沒上場的球員，其薪資又如何採計？於是在看到報導中的NBA球員年薪之中位數時，很少人會去過問計算基準。反正只是個參考，想對球員年薪，有個約略的概念而已。此正如有些人在談到自己年薪時，會思考一陣子：加班費及績效獎金等算不算？每月被扣除的午餐、交通車及退撫儲金等費用，要不要加回來？連自己年薪究竟有多少，都要想一想該講那個值，因而對所見到之各種中位數，便未太追究其涵意。即使如此，“居中那位”，或“位處中間”之概念，大家還是有的。

生活中離開不了統計，媒體上經常可看到各種統計數據的報導，其中不乏百分位數(percentile)及中位數等。百分位、中位，字面上看，令人覺得淺顯易懂，於是便出現在國中數學了，並歸入統計領域。先看“中位數”？在之前，2008年通過，且自2010年開始實施的“9年課綱”(九年一貫數學課綱)裡，中位數放在國三。在“細目銓釋”(分年細目銓釋)裡有，“能認識平均數、中位數與眾數；能認識全距及四分位距，並製作盒狀圖；能認識百分位數的概念，並認識第10、25、50、75、90百分位數”。對於中位數，於“分年細目銓釋”裡，捨“居中那位”及“位處中間”，相當口語地說，“中位數是將資料排序後，前後各切一半的中間位置資料值。…中位數會使落在兩邊的資料呈現出某種平衡狀態。…中位數則是個數的平衡。”“呈現出某種平衡狀態”，有點文青的寫法，但個數究竟如何平衡？並沒明說。這就算了，依此定義求中位數，卻時感困惑。例如，對於數據個數為偶數，如1，2，3，4，5，6，前後各切一半，有一半是1，2，3，另一半是4，5，6，中間位置3.5，是這樣嗎？因提到要有平衡狀態，那看來就是3.5了。但對於數據個數為奇數，如1，2，3，4，5，中間位置顯然為3，但此時如何前後各切一半？將3這個數字劈為兩半嗎？這種“所羅門的審判”(The Judgement of Solomon，典故見“舊約聖經”“列王紀上”第3章第16-28節)式的用語，看似豪邁，卻只有數據個數為偶數時，中位數才求得出。不得不說此定義並不周詳。但定義不妥的，並不僅止於此。

中位數為百分位數之一種，即第50百分位數。在“9年課綱”的“用詞解釋”(標準用詞與解釋)裡，便藉百分位數來引進中位數。即“第50百分位數，通常表示比這筆或這組數大和比這筆或這組數小的資料各佔一半”。依此定義，我們來重新檢視前述2筆數據。對1，2，3，4，5，顯然3不是中位數了，因比3大及比3小，各有2個數，並不佔5個數之半，即2.5個。此顯示當數據個數為奇數時，依“用詞解釋”，根本不會有中位數存在。其次對1，2，3，4，5，6，顯然區間(3，4)中的任一數皆為中位數，但端點3與4則皆不是。也就是數據個數為奇數時，中位數並不存在；數據個數為偶數時，中位數不但不唯一、有無限多個，且沒有一個在數據中。中文裡，“銓釋”與“解釋”不知有何差別，但在同一份課綱的“分年細目銓釋”及“用詞解釋”裡，給出迥然不同的中位數之定義，且二者在數據個數為奇數時皆窒礙難行，未免太奇怪。

幸好，在教育部主編，2012年12月出品，針對“9年課綱”的“補救教材”(國中數學基本學習內容補救教材)中說，“甚麼是‘中位數’呢？通常對於給定的一組資料，將資料的數值由小到大排列，(1)若資料個數是奇數個，則最中央的一個資料數值是中位數，(2)若資料個數是偶數個，則最中央的兩個資料數值的平均值是中位數”。當然將資料的數值由大到小排列亦可。今日國中，大致便採此中位數唯一之定義。依此，只要給定一組數據，可明確求出其中位數。這的確是份“補救”教材，因中位數的定義，終於弄清楚了。這樣講實在有點難堪，因中位數不是本就該如此定義嗎？在媒體的報導裡，中位數不一向就是這麼解釋的嗎？最多就是當數據有偶數個時，中位數須唯一或允許可以有兩個之別。如今大費周章編出來的課綱，卻需要補救？依“補救教材”，即使數據裡有重覆的，仍可找出中位數。如對數據1，1，1，1，2，中位數為1；對1，1，1，2，2，2，中位數為1與2之平均，即1.5。

底下再給一常見的中位數之定義。對一組數據，若在某值之前及之後，皆至少有50%個，則該值便為此組數據之中位數。如一般用法，這裡的“之前”及“之後”，都表包含該值。依此定義，對1，2，3，4，5，顯然3為中位數；而對1，2，3，4，5，6，顯然3及4皆為中位數。甚至若允許中位數不在該組數據中，則區間[3，4]中的每個數，便皆為中位數。此定義可行，當數據個數為奇數時，中位數唯一；當數據個數為偶數時，中位數有無限多個。

繼“9年課綱”後，2019年開始實施的“12年課綱”(十二年國教課綱，又稱108課綱)，數學在國中1年級有，“統計數據：用平均數、中位數與眾數描述一組資料的特性；使用計算機的M+或Σ鍵計算平均數”。中位數的定義，在這份新課綱裡有釐清楚嗎？

課綱向來寫得簡略，常連微言大義都稱不上。在針對“12年課綱”完成的補充材料“課程手冊”(數學領域課程手冊，2020年2月，國家教育研究院發行，共765頁)裡，再度出現“中位數是將資料排序後，前後各切成一半的中間位置資料值”。此顯示編寫這份“課程手冊”者，仍喜愛各切成一半的豪邁講法，當能也可能是照抄舊課綱裡的資料。我們已說明了，依此定義，當數據個數為奇數時，中位數不存在。幸好，“12年課綱”公佈後，國中數學課本的編輯，知道不必理會“課程手冊”，守住“9年課綱”時代，“補救教材”裡中位數之定義，而不讓中位數困惑師生。數學課綱裡的中位數，不知要到那一年的版本，才能停止需要補救。

有些數學家不習於動手，十年來，不但未曾依自己給的，各切成一半之定義去求中位數，對媒體上不時出現的報導裡，特地附上中位數的意義，可能也未曾仔細看。原本“9年課綱”國中裡的中位數及百分位數，長期引起的學習困難，解決之道，居然僅是在“12年課綱”裡，保留中位數在國中，而將百分位數移至高中，但對中位數的講法卻維持不變，頗有鋸箭法之風格。高中裡的百分位數，會被寫成什麼樣子，不禁令人忐忑不安。