11 百分位數

行政院主計總處，於2020年12月23日，發布一則標題為“108年工業及服務業受僱員工全年總薪資中位數及分布統計結果”之新聞，新聞稿中提到，“2019年工業及服務業全年總薪資第1十分位數為29.1萬元，較107年增加4.10%；第9十分位數為117.9萬元，則增加2.62%”。其中第1十分位數，即第10百分位數，第9十分位數，即第90百分位數。在有關薪資的報導，有時除中位數(第50百分位數)外，會更細緻地給幾個特別的百分位數，以讓人們更加了解薪資結構。有助解讀數據，百分位數一詞，本就讓一般人不會覺得太陌生。過去二十餘年，由於學測(大學入學學科能力測驗)的頂標、前標、均標、後標，及底標等5標，乃分別依到考生之第88、75、50、25、12等百分位數之級分而定，及基測(國民中學學生基本學力測驗，2013年舉行最後一屆，之後由會考(國中教育會考)取代)之PR(percentile rank，百分等級)值，讓人們更常接觸到百分位數。

或許是因太常在媒體出現，所以百分位數，被認為是國民必須懂的統計概念。在之前的“9年課綱”裡，中位數及百分位數等題材，置於國中3年級。經過多年，其中的中位數，可能是因被認為較簡單，在“12年課綱”裡，由國中3年級移至1年級；至於百分位數，應是被認為較難吧，則移至高中1年級，列在“數據分析”項下，於“學習內容”(學習內容條目及說明)欄位中寫著，“一維數據的平均數、標準差。二維數據的散布圖，最適直線與相關係數，數據的標準化。”就這樣而已？並沒出現“百分位數”一詞啊！這是數學課綱的習性，究竟要學些什麼，不能只看“學習內容”。只是該學習的內容，怎能不放在“學習內容”欄位裡呢？有關百分位數，其實放在前述“數據分析”那項之“備註”欄位裡(雖是數學課綱，但向來不能跟它追究邏輯)：“適度與國中所習的數據分布圖重疊，但加深加廣其情境，並將四分位數延伸至百分位數。學生應知道統計數據可能有略為不同的定義，也應理解可能產生數值略為不同但意義相同的數據；…。”在“學習內容”欄位裡，只提到平均數及標準差二詞，然後在“備註”欄位中，憑空冒出四分位數，且說要延伸至百分位數。課綱將部分該學習的內容，放在“備註”欄位中，古人說綱舉目張，如今綱目不分了。又，在那句“產生數值略為不同但意義相同的數據”中，提到“意義相同”，但究竟是什麼意義跟什麼意義相同？並無法理解。至於四分位數又是什麼？

“12年課綱”的國中3年級，在“統計數據的分布”項下，於“學習內容”欄位中寫著，“全距；四分位距；盒狀圖”。在該項之“備註”欄位裡有，“…，本條目則傳達以盒狀圖描述數據的集中程度。”只是尚未引進百分位數，四分位數會容易定義嗎？令人存疑。我們列出“課程手冊”中，該項之基本說明的第(2)及第(4)點如下：

(2). 認識第1、第2、第3四分位數(可記為Q₁、Q₂、Q₃)的意義，知道如何運用資料的累積相對次數分配表來找出Q₁、Q₂、Q₃。知道第2四分位數即為中位數；四分位距則為第3四分位數與第1四分位數的差，即Q₃-Q₁。

(4). 關於四分位數的定義，一般並沒有統一的取法，很多處理資料的統計軟體所用的四分位數定義也不一樣。因此學生應先確切學習取四分位數的原理，再學習其計算法則。

此二點均令人疑惑。先含混地在第(2)點說，以“累積相對次數分配表”找出Q₁、Q₂、Q₃，然後在第(4)點說，“統計軟體所用的四分位數定義也不一樣”。只是就算有不一樣的定義，那至少該給一個吧！沒有，一個也不給。另一方面，要學生“先確切學習取四分位數的原理，再學習其計算法則”。但原理是什麼？計算法則又是什麼？這些卻都不講，似有故弄玄虛之嫌。而雖然沒給定義，“課程手冊”中倒是有給一“釋例”。一班有30個學生之數學段考成績(我們將成績由小到大排列)如下：

5，33，35，35，36，43，44，45，47，48，52，55，58，64，64，65，68，69，70，74，75，78，78，79，80，82，83，84，85，89。

然後立即給出“最大數與最小數分別為89與5，所以全距為84。以及Q₁、Q₂、Q₃分別為45、64.5、78，則四分位距為Q₃-Q₁=33”。至於Q₁、Q₂及Q₃如何求出，並沒說。看起來“課程手冊”之編寫者，有可能不認為在引進百分位數之前，適合講四分位數此題材，乾脆只給答案，至於如何得到則不講。附帶一提，Q₁、Q₂、Q₃，即分別為第25、50，及75百分位數。但國中數學裡，有什麼必要放進一無法明確給出定義的四分位數？而突兀地講授四分位距及盒狀圖的目的何在？這些都相當令人不解。

在“9年課綱”的“標準用詞與解釋”裡，說百分位數是，“各筆或各組資料的相對位置，表示有百分之多少的資料比該筆或該組資料的數要小”。這定義與一般的認知大不相同。依此定義，設有數據1，2，…，100。則51是中位數(第50百分位數)，但50卻非中位數，相當奇怪。其他更不要說第1百分位數為2，…，第99百分位數為100了。

前面說過，在“12年課綱”的高中1年級，於“數據分析”項的“備註”欄位裡說，“將四分位數延伸至百分位數”。但其實沒什麼好延伸的，先教百分位數才較恰當。“課程手冊”裡，關於此部分寫得相當長。在“相關約定”的(1)裡寫著，“數據資料的第m百分位數記作P_m，其中m為正整數1，2，…，99。其詳細約定，寫在釋例中。”但不知為何，在“釋例”裡並無“例”，只說P_m指的是同時滿足以下兩條件的數，“小於或等於P_m的資料數量至少占全部資料量的m%；大於或等於P_m的資料數量至少占全部資料量的(100-m)%。當資料中恰有一個滿足上述條件的(原始)數據時，採用它作為P_m；當超過一個(原始)數據滿足上述條件時，取它們的平均值作為P_m。”至於四分位數，則連提都不提，所以“將四分位數延伸至百分位數”之議題，完全被拋開了。

依上述“課程手冊”之“釋例”，再度來看這組相當普通的數據1，2，…，100。由第1個條件，立即得P₁=1、2，P₂=2、3，…，P₅₀=50、51，…，P₉₉=99、100，再由第2個條件，得P₁=1.5，P₂=2.5，…，P₅₀=50.5，…，P₉₉=99.5。雖依“釋例”，求出了百分位數，只是這樣的百分位數，與一般人所想的很可能不同。既然是1，2，…，100，大部分的人可能想當然耳地會以為，P₁、P₂，…，P₉₉，分別是1，2，…，99。很難想像會冒出1.5，2.5，…，及99.5等為百分在數。

換組數據來看。假設有數據1，2，…，99，即將上筆數據去掉最大那數100。得P₁=1，P₂=2，P₃=3，…，P₅₀=50，…，P₉₉=99。有趣的是，一旦數據少掉1個，百分位數便能皆如一般人新預期了

再看一筆數據1，2，…，50。先得P₁=1，P₂=1、2，P₃=2，P₄=2、3，…，P₅₀=25、26，…，P₉₈=49、50，P₉₉=50。當m是奇數時，P_m只有一個值；當m是偶數時，P_m有兩個值。由此得P₁=1，P₂=1.5，P₃=2，P₄=2.5，…，P₅₀=25.5，…，P₉₈=49.5，P₉₉=50。除P₁、P₉₉，及中位數外，其他百分位數，可能讓人有些糊塗吧！

對數據1，2，3，4，5，先得P₁=P₂=…=P₁₉=1，P₂₀=1、2；P₂₁=P₂₂=…=P₃₉=2，P₄₀=2、3；P₄₁=P₄₂=…=P₅₉=3，P₆₀=3、4；P₆₁=P₆₂=…=P₇₉=4，P₈₀=4、5；P₈₁=P₈₂=…=P₉₉=5。由此即得P₂₀=1.5，P₄₀=2.5，P₆₀=3.5，P₈₀=4.5，其餘不變。除4個外，其他百分位數，都是多個取同一值。

在“9年課綱”的“細目銓釋”裡，於“能認識百分位數的概念”項下，有5點說明，其中第2點為，“知道百分位數通常用於分析總次數多的資料，避免在資料數少的例子中，做百分位數的教學。”上述幾個例子顯示，數據若太少，一目了然，本不需藉百分位數來解讀數據，此時若仍要求百分位數，是可以求出，只是不但不會讓數據更清楚，反而可能讓人覺得百分位數礙手礙腳。那數據較多時會如何呢？底下給一之例。

假設NBA球員有450位，按年薪由低至高排序，第1-4位，年薪各20萬(美元，底下同)，第5位，年薪80萬，第447-450位，年薪各4.5千萬，第446位年薪3.5千萬。則依上述“釋例”，可求出P₁=80萬，至於那4個20萬，對求P₁毫無影響；另外，P₉₉=3.5千萬，至於那4個4.5千萬，對求P₉₉也毫無影響。於是在人們對NBA球員年薪的理解裡，低薪被拉高，高薪則被拉低。又，P₂為第9與第10位之年薪，所以是二者之平均，P₃為第14位之年薪，…。有很多球員的年薪被棄而不用，對百分位數沒有貢獻。但對沒學過，或不記得中學數學裡的中位數者，可能會將最低5位球員的年薪平均，當做P₁，第6位至第9的年薪平均，當做P₂，…，第446位至第450位的年薪平均，當做P₉₉，這樣說不定更符合百分位數的精神呢！由本例知，即使數據較多，百分位數也不見得能大展長才，有效讓人了解數據。也就是百分位數，並不易有一能處處令人完全滿意的定義。

百分位數常用在薪資。政府每年會公佈前一年國民所得，也會列出一些特別的百分位數。但怎樣叫所得？打工、租屋、擺地攤，及網路交易等，政府都能精確掌握嗎？究竟列入考慮的，是900萬人，或1千1萬人？不同單位所做的統計，差異可能很大。因此其中的百分位數到底如何產生，若太去計較意義並不大。反正只是想讓人約略了解國民所得，究竟高到那裡去，以及低到那裡去。講起來就是件差不多之事，無法也不必過於去深究。這樣不求弄得太清楚的題材，說起來，並不適合出現在講求精準之中學數學課程裡。