21 數據已死？

2016年的美國總統選舉，身為共和黨策士的墨菲，坐擁數據，羽扇綸巾，因而從來不看好川普。11月8日開票當晚，眼看川普就要當選，不禁慨嘆“數據已死”。那2020的美國總統選舉後，有沒有人也慨嘆些什麼呢？2020年投票日(11月3日)的兩天後，11月5日，“紐約時報”(The New York Times)有一則報導，標題為，“2016 年對投票造成打擊，那2020年有毀了它嗎？”(2016 Dealt a Blow to Polling. Did 2020 Kill It?)此文一開始便指出，“選舉之夜，計票開始後不到24小時，媒體和政治圈已經宣布一個失敗者，那就是民調(polling)。”即雖尚不知那一候選人會落選，但已確定的是民調輸了。然後引述一些民調專家的意見，包括“對我們這一行來說就是完了”；“民調似乎已崩潰了，救不回了”；“民調業就是一堆廢棄物，炸掉算了。”看來經過4年，民調落入比“數據已死”更淒慘的狀態。

2016年的美國總統選舉，選前各家民調，對柯林頓普選得票率領先的預測，平均略低於4%，最終她贏了約2.09%，誤差並不算太大，與1968年以來民調的平均誤差差不多。因而許多民調專家，並不認為他們的預測太離譜。只不過柯林頓雖贏得普選，卻輸掉大選。因美國的總統選舉，並非由普選得票率之多寡來決定，而是由各州的選舉人票，尤其是搖擺州。在總統選舉時，搖擺州向來為兩大黨極力爭取的目標。像美國有18個州及特區，自1992至2012的總統選舉，都是投給民主黨的候選人，是所謂民主黨的藍牆(Blue Wall)。2016年風雲變色，密西根、賓夕法尼亞，及威斯康辛等3州，倒向川普，這3州共有46張選舉人票，若非輸掉這3州，柯林頓便當選了(她應獲232張選舉人票，但有5位失信者，實際得227張，227+46=273>270)。2020年拜登光復這3州，分別贏2.78%、1.17%，及0.63%，若沒這3州，拜登便落選了(他獲306張選舉人票，306-46=260<270)。選前眾人皆知，拜登只要保住柯林頓4年前勝出的州，加上讓此3搖擺州搖回來，得票便超過入主白宮所需的270票。拜登達成目標，且翻轉的還不只上述3州。共和黨的鐵票倉亞利桑那州，自從1952年開始，除1996年外，此州的總統選舉，全由共和黨勝出，但拜登以驚險的約0.30%得票率領先攻下，11張選舉人票入袋；另外，過去6屆的總統選舉，喬治亞州均由共和黨候選人以大差距拿下，此次拜登贏了約0.24%，是不太多，但已夠將紅土染藍了，又是16張選舉人票。

2020年的總統選舉，最後雖如大部分的預測，拜登當選，但在州這級，則有好幾州的誤差不小。如民調預測，在佛羅里達州，拜登約領先2.5%，結果倒輸了約3.3%；在俄亥俄州，川普領先不到1%，結果大贏約8.03%。更不要說在眾議院，民主黨原本就領先共和黨35席，許多人預測藉由擊敗川普的旋風，民主黨將再增加5至15席，結果卻是跌破眼鏡的民主黨減少10席，共和黨增加16席。民主黨雖仍保住眾議院之控制權，但差距大幅縮小。這是從事民調者，對自己這行徹底失望的一主要原因。

FiveThirtyEight，亦簡單寫成538，此網站於2008年3月7日，由西爾弗(Nate Silver，1978-)所創。網站名稱源自於美國總統選舉時，共有538位選舉人。自2010年8月起，此網站隸屬“紐約時報”。又自2013年7月起，網站被ESPN收購。為何知名媒體，會爭相將538網站納入麾下？因此網站，以精準預測2008及2012年的美國大選結果而出名。媒體當然樂意與如此聲譽卓著的網站結合。今日該網站所公佈的預測，涵蓋民意調查分析、政治、經濟、科學、流行文化，與體育等，早已不侷限在選舉。

為讓大家對當選機率的涵義有所了解，先舉一簡單的例子。假設美國只有A、B、C 3州，各有10、15、20張選舉人票，共45張，且皆採“勝者全得”制。則任一總統候選人想勝選，須拿到至少23張選舉人票。現設某次總統選舉，有M及N兩位主要的候選人。又設預測M在3州的獲勝機率分別為0.5、0.7、0.8；N在3州的獲勝機率分別為0.5、0.3、0.2。看到這樣的數據，不少人會解讀成，就是M了，N豈有機會？底下來計算兩人的勝選機率。由於得23張以上的選舉人票，表至少要贏2州，因此兩位候選人，要當選都有相同的4種可能：

(A州勝，B州勝，C州勝)，

(A州勝，B州勝，C州敗)，

(A州勝，B州敗，C州勝)，

(A州敗，B州勝，C州勝)。

又假設各州的投票結果相互獨立。由此得

P(M當選總統)

=0.5×0.7×0.8+0.5×0.7×0.2+0.5×0.3×0.8+0.5×0.7×0.8

=0.28+0.07+0.12+0.28=0.75。

立即可得P(N當選總統)=1-0.75=0.25。N雖看起來贏面不大，但仍有0.25的機率。這種事件，離被視為不可能發生還遠得很。因此若發生何須訝異？

若氣象局預測降雨機率為0.25，你自己判斷不會下雨，遂不帶傘出門，結果淋了一身雨。雖懊惱，能就此指責氣象局的預測不準嗎？除非你已長期收集數據，預測不準的證據確鑿，否則顯然不行。因1/4的機率，表示約每4次，便會發生1次。機率用在對氣象之預測，一般人似較易理解其涵義。不會輕易慨嘆“氣象局該關門了”。

538網站對2016年美國總統選舉的兩位主要候選人，表1給出預測及實際得票率，可看出誤差並不算大；表2給出當選機率之預測，川普雖不被看好，預測仍有0.286的當選機率，大於1/4的機率，比“時代”(Time)雜誌宣稱的川普僅“百分之1的獲勝機率”大多了。川普幸運地當選了，豈能因此導致“數據已死”？表3給出預測及實際選舉人票，這部分差異較大，並且誰當選也預測錯了。但我們已多次強調，美國總統選舉，特殊的“勝者全得”制，使得當兩候選人實力相差不大時，究竟誰的選舉人票會較多，是很難精準預測的。

我們再度來討論獲勝機率，先看一簡單的例子。假設D君投擲一正面出現機率為0.88的銅板56次(此處並不必假設各次的結果為獨立)。因56×0.88=49.28，即預期將出現49個左右的正面。不會因正面出現機率的機率0.88相當大，就預期可得56個正面。而且正面出現的次數，若在49附近，也都會覺得合理。事實上，若出現過多正面，可能會啟人疑竇，懷疑正面出現的機率應大於0.88。其次考慮較一般的情況。假設有56個銅板，正面出現的機率不盡相同。今各投擲1次(仍不必假設各次的結果為獨立)，由於期望值有線性性質，因此將各銅板正面出現的機率相加，便是共得的正面數之期望值，也是合理的預測值。美國50州、特區、緬因州2個選區，加上內布拉斯加3個選區，總統選舉時，可視為共有56個採“勝者全得”的州(區)。欲估計總統候選人所得的選舉人票，便要對56個州(區)，皆估計獲勝機率。表4便是538網站對2016年美國總統選舉的兩位主要候選人，勝選機率之預測。雖候選人有多組，但因“勝者全得”，使得只有柯林頓與川普，才有獲選舉人票的可能。我們想回答一個令人感興趣的問題：州(區)預測獲勝機率較大的候選人，確實也在該州(區)贏，這種州(區)數的期望值為何？

上述問題此本質上正是之前的投擲銅板問題。對56個州(區)，將預測獲勝機率較大的那位候選人(柯林頓或川普)，視為銅板正面。要知所謂正面或反面，不過有如名字，不同的銅板，指定那一面為正並無妨。如此一來，問每州(區)預測獲勝機率較大者是否獲勝，便有如問投擲一銅板正面是否出現。而問共有幾個州(區)，由預測獲勝機率較大的候選人當選，便相當於求投擲56個銅板，共得的正面數。將表4中56個州(區)，各取較大的預測獲勝機率，全部相加，得總和49.35。其中為了簡便，機率大於0.999者，以1計，而機率小於0.001者，則以0計。即得由538網站的預測，預期有49.35個州(區)，由獲勝機率較大的候選人，贏得該州(區)。實際吻合幾個？50個！這還能說不準嗎？還能慨嘆“數據已死”嗎？

若某州(區)預測獲勝機率較大者落敗，我們不妨從俗稱之為“逆轉”州(區)。由表4知，56個州(區)中，共有6個“逆轉”州(區)。表5給出538網站，在那6個逆轉州(區)，對柯林頓及川普，所預測之得票率，實際得票率亦附上以為比較。6個逆轉州(區)，得票率預測領先的都是柯林頓，分別領先0.6%、0.3%、4.2%、0.7%、3.7%，及5.3%。其中0.6%、0.3%，及0.7%，都很小，即這6州(區)裡，至少有3州(區)，兩候選人的支持率差異，應是在誤差範圍內，因而柯林頓被逆轉，並不足為奇。回過頭來看川普，他在6個逆轉州(區)的實際得票率，分別高出柯林頓1.20%、10.47%、0.23%、3.66%、0.73%，及0.75%。這些差距，除了緬因州第2選區(只有1張選舉人票，影響很小)的10.47%，及北卡羅來納州的3.66%較大外，其餘在佛羅里達、密西根、賓夕法尼亞，及威斯康辛等4州，差距分別是1.20%、0.23%、0.73%，及0.75%，可說都相當小。只要些微的波動，輸贏便可能換人。這4州，共有75張選舉人票。若少掉這75票，川普便只有231票，將黯然神傷地落選。能這麼驚險的逆轉這4州，說川普運氣好，應不為過。話說回來，有多少預測能掌握這麼小的誤差？

其實，還不必上述4州全輸掉，因川普得到的選舉人票，比當選所需的270票，多出36票，故佛羅里達州與密西根州(共45票)、佛羅里達州與賓夕法尼亞州(共49票)、佛羅里達州與威斯康辛州(共39票)，或密西根州、賓夕法尼亞州，與威斯康辛州(共46票)，只要在此4組州的任一組輸掉，則“時代”雜誌2016年選出的風雲人物，便不是川普了。

事實上，我們已數度強調，若真見到次次正確預測銅板那一面朝上的人，人們恐怕不但不信他，反而懷疑其中有假。所以如何能對這麼複雜的總統選舉，要求處處精準預測？

這是一雙方實力接近的總統大選，“勝者全得”制，造成正確預測誰當選之困難。若如一般選舉，依得票率的高低，以決定誰當選，則538網站便有近乎完美的預測。由表2，預測柯林頓的得票率為48.5%，領先川普的44.9%，實際果然柯林頓的得票率較高。而且柯林頓的實際得票率為48.07%，比預測值僅略少0.43%；川普的實際得票率為45.99%，比預測值不過高出1.09%。這樣的誤差，在選舉預測裡，算是高度準確了。只要想，從一袋中，以隨機取球來估計紅球所佔比例。兩次試驗所得比例之差異，若只有1.09%，豈會不滿意？差異若小至0.43%，難道不會驚嘆不已嗎？

只要了解隨機性，便知預測之誤差難免。美國總統選舉誰輸誰贏之預測不易，統計就是做到它能做的。數據不死，也未逐漸凋謝。

表1. 538網站2016年美國總統大選預測及實際得票率

表2. 538網站2016年美國總統大選當選機率之預測

表3. 538網站2016年美國總統大選預測及實際選舉人票

表4. 538網站2016年美國總統大選各州(區)獲勝機率之預測

表5. 538網站2016年美國總統大選 6逆轉州(區)預測及實際得票率