29 檢察官的謬誤
假設檢定雖是現代做決策之一重要依據，但我們已數度強調，見到一顯著事件發生，不宜立即見獵心喜，以為虛無假設可被推翻了。反而該抱著近鄉情怯的心理，仔細檢視這樣的結果，與前提(虛無假設)之成立或不成立，究竟有多大關連？若(自以為)依賴統計，過度重視顯著事件，有時會產生所謂“檢察官的謬誤”(prosecutor’s fallacy)。
來看個可能發生的情況。設有某法院審理某刑事案件，在無罪推定的前提下，虛無假設自然取為H0：被告無辜。假設開庭時，檢察官提出一疑點，有某現象D發生了，且指出若H0為真，則現象D發生之機率僅為百萬分之1，一個極小的p-值。此時被告是否該俯首認罪？等等！現象D的發生，與H0為真之關係大嗎？說不定不管H0是否為真，D發生之機率都是百萬分之1。此時被告的律師，若有概念的話，不妨反問當D發生時，H0為真之機率又是多少？這其實是另一條件機率，須有更多的資訊才能求得。由於通常條件機率P(A|B)≠P(B|A)，故
P(D|H0)=10-6，
不表亦有
P(H0|D)=10-6。
因而檢察官企圖讓人相信的(底下H0c表H0之餘集，在此即被告並非無辜)
P(H0c|D)=1-P(H0|D)=1-10-6≈1，
只能說是憑空冒出。例如，如前所述，若D與H0獨立，且P(D)=10-6，則當然有P(D|H0)=P(D)=10-6，但P(H0|D)=P(H0)，可就不必然等於10-6了。就算D之發生，的確屬於顯著事件，但若根本與H0是否為真毫不相干，則提出D發生有何用？魚目混珠而已。只是在法庭上(當然政壇上也不少)，不少人屢會有意或無意地將P(D|H0)及P(H0|D)二者混淆，有時冤獄便因而產生了。由於這套利用條件機率的詭論，偶被檢察官引用來做佐證，故才會被稱為“檢察官的謬誤”。鑑於統計有時成了冤獄的幫凶，遂有人提出“靠統計數字定罪的危險”之警告，頗令統計人難堪。底下便以著名的“莎莉克拉克案”(The Sally Clark case)，來說明在法庭，若要引用統計來當證據，須格外謹慎。而另一方面，在辯論攻防時，若見到有人引用統計，也須提高警覺，不要迅即被“科學”說服。資料取自Wikipedia(維基百科)。
英國的莎莉克拉克(Sally Clark，1964-2007，本名Sally Lockyer，自結婚後以夫姓Clark取代娘家的姓Lockyer)，是家中的獨生女，她父親是位資深警官，母親是位美容師。1990年，莎莉與同樣是初級律師(solicitor)的史提夫克拉克(Steve Clark)結婚。家庭及事業，一切看起來都很美好。1996年9月，他們的老大誕生。這個健康的男嬰，不幸卻在當年12月，11週大時，在家中猝死(Sudden cardiac death，縮寫SCD，指突然的死亡)。莎莉好不容易才從悲傷中復原，於隔年(1997)11月，又生了一個兒子，以為可開始過新生活了。豈料8週後，1998年1月，嬰兒又在家中猝死，兩次兒子猝死，都是莎莉一人在家。只是人世的慘痛，豈僅是失去雙子？已難再從悲傷中復原的莎莉，面臨殺嬰的控訴。
起訴的檢察官，並沒有莎莉行凶的直接證據。但他就是認為，接連兩個嬰兒猝死，極不尋常，應為顯著事件。憑其直覺，檢察官完全不相信嬰兒猝死症(Sudden infant death syndrome，縮寫SIDS，指嬰兒突然死亡，不論從其病史、身體檢查，或研究調查，都無法發現死因)，便是此二事件發生的真正原因。為了說服陪審團，這絕不是猝死，檢察官找來梅鐸(Sir Roy Meadow，1933-，他是位爵士)作證。梅鐸是位夙負盛名的小兒科醫生(paediatrician)，且上法庭作證的經驗豐富，他以“擅長”利用機率來佐證著稱。
梅鐸以簡易的方式，向陪審團說明，一家有2嬰兒接連猝死的機率有多小。他說同一家庭有兩個小孩死於SIDS的機率，為7,300萬分之1。梅鐸承認這麼微小機率的事件，並不表示就不會發生。但他指出，這種意外，每1百年才會有1次。搞不清楚7,300萬分之1到底多小的人，於聽到百年1次，立即就懂了。人生不滿百，百年發生1次的事件，怎會在有生之年見到？因而此顯然不會是猝死。這是一記重磅！梅鐸還說，全英國兩個小孩的家庭，共有1,500萬個。對照7,300萬分之1的機率，這麼一聽又更明白了。不會發生！又是一記重磅！既然不可能是猝死，“真相”便立即浮出了。陪審團接受梅鐸的證詞。1999年，莎莉被判無期徒刑(life imprisonment)，並於2000年入獄。直到2003年1月，經第二次上訴後，基於死嬰之新的病理報告出爐，最高法院改判莎莉無罪。只是遲來的正義，對莎莉已不具意義了。出獄後，莎莉一直處於精神不佳的狀態，有如槁木死灰，終日酗酒，茫然度日。2007年3月，她因酒精中毒，死於家中。
我們先來看梅鐸的數據之由來。梅鐸宣稱，對一如克拉克這種家境良好且不抽煙的家庭，會發生1件嬰兒猝死(cot death)的機率為1/8,543。因此這種家庭會發生2件嬰兒猝死的機率，為前述值之平方，即
(1/8,543)2=1/72,982,849，
這是7,300萬分之1的機率產生之由來。那百年1次又是如何來的？梅鐸說，全英國每年約有70萬個新生兒，他將7,300除以70，得104.…，取近似值100。應是104年發生1次，他還少算一些呢！只是將7,300除以70，不知究竟代表什麼？
我們不能期望陪審團、檢察官或法官的數學、機率及統計，能有多好，那梅鐸的功力如何呢？身為醫生，能被封為爵士，總不至於浪得虛名吧！神秘的1/8,543這一嬰兒猝死機率，雖不知如何誕生，我們就先接受好了。但將兩個1/8,543相乘，就毫無根據了。同一家庭的2嬰兒先後猝死，真是獨立事件嗎？這對未曾謀面的兄弟2人，由於遺傳之關係，說不定會有類似的基因缺陷。再加上照顧方式，及生長環境皆類似等因素，一家庭中的2猝死事件，絕不該在沒有依據下，就視為獨立。無論如何，不管三七二十一，就將兩機率值相乘，是很輕率的。不該是一個受過水準以上機率訓練的人，所會犯的錯。因此機率7,300萬分之1，應是一極被低估下的值。至於因機率7,300萬分之1，且每年約有70萬新生兒，將二者相除，就得到同一家庭兩件嬰兒猝死案，百年才會有一樁，這更是莫名其妙了。兩數字可以相除，但不表具有意義。只是既然有這麼多統計上的缺失，英國眾多統計學者，難道都不吭聲嗎？
首先，如我們之前所一再強調的，這裡犯了“檢察官的謬誤”。因就算7,300萬分之1的機率為正確，也不表在2嬰兒猝死下，莎莉無辜的機率也是7,300萬分之1。這跟若某A君中樂透彩頭獎，不表他必是靠作弊得獎的情況類似。這是另一條件機率，要有更多的資訊，才能估算。另外，英國皇家統計學會(Royal Statistical Society，縮寫RSS)，倒也沒有袖手旁觀，只是動作相當緩慢。學者總是這樣，不愛蹭熱度，在確定真有必要，且有極大的把握前，不會輕易出手。事實上，他們於2001年10月(莎莉入獄後隔年)，發表一公開的聲明，對本案裡的“法庭誤用統計”(misuse of statistics in the courts)，表示關切。並說“7,300萬分之1的機率毫無統計依據”(“no statistical basis” for the “1 in 73 million”)。2002年1月，RSS還寫信給上議院大法官(Lord Chancellor)，明確指出7,300萬分之1的計算是錯的(the calculation leading to 1 in 73 million is invalid)。
再過3年，2005年，英國醫學總會(General Medical Council，縮寫GMC)，鑑於梅鐸曾多次在法庭上擔任專家證人，卻提供錯誤資訊，因而數度入人於罪，撤銷了他的醫師執照。雖經上訴後，隔年梅鐸重新拿回其執照，但名聲已毀了一大半了。最後，2004年，索爾福德大學(University of Salford)的數學教授希爾(Ray Hill)，在期刊Paediatric and Perinatal Epidemiology上，發表一篇論文。他依據英國的統計資料，推導出1嬰兒猝死的機率約為1/1,300，而非1/8,543那麼小。他並且估計出，一家庭若有1嬰兒猝死，則會再有1嬰兒猝死的機率，將提高5至10倍。看來梅鐸醫生自以為能善用統計，其實犯了不少錯，卻一直毫無所覺。統計！多少人假統計之名！
2016年7月5日，中國時報有則標題是“16年前性侵案 DNA揪惡狼”之報導；相隔3天，同年7月8日，聯合報亦有則有關DNA(deoxyribonucleic acid之縮寫，去氧核醣核酸)比對的報導，標題是“警方如何鎖定爆炸案嫌犯？根據乘客傷勢”。今日警方屢能利用比對DNA來破案，福爾摩斯若復出，想必會嘆為觀止。
DNA比對，成了今日破案的利器。而既然能讓16年前的犯案者，無所遁形，則不足為奇，也當然有平反冤獄的時候。有些人已含冤坐了多年牢，本再也不相信什麼老天有眼，結果拜DNA比對之賜，終於還了清白。由於有關DNA比對立功的報導，一再出現，使人們不禁以為，一旦祭出DNA比對，眾人便不得不臣服。大致是這樣沒錯，只是在運用時，如前兩則新聞內容所顯示的，仍需有其他佐證。即不能光是比對吻合，就立即以為案子破了，找到真相。若過度執著於DNA比對的高吻合率，有時便難免犯下“檢察官的謬誤”。底下給一實例。
2016年6月號的Scientific American (Volume 314，Issue 6)，有一篇標題為“When DNA Implicates the Innocent”的文章，作者是Peter Andrey Smith。由林雅玲譯的“DNA證據牽連無辜？”一文，則刊登在下一個月，台灣發行的“科學人”(2016年7月號(No.173))。在該文中，先舉一DNA比對，引導錯誤的案例。2012年12月，美國警方根據DNA的比對，指控一位名叫安德森(Lukis Anderson)的遊民，涉嫌矽谷富豪庫姆拉(Raveesh Kumra)的謀殺案。此控訴若被判有罪，最重是死刑。只是處在美國社會底層的安德森，與此案根本毫不相干，他有無懈可擊的不在場證明。在11月庫姆拉被謀殺的那晚之前，安德森便因醉酒且近乎昏迷(drunk and nearly comatose)，一直待在醫院接受治療。只是自以為依科學辦案的警方，見多了狡猾的嫌犯，當然不理會此對安德森有利的證據。那這件飛來橫禍，究竟是怎麼產生的？安德森的辯護律師團發現，安德森的DNA，是在事發之後，隨著醫護人員進入庫姆拉家中。那幾位醫護人員，在當天稍早曾治療過安德森，然後在3個多小時後，不經意地把安德森的DNA，帶到命案現場，並留在那裡，成為安德森涉案的“鐵證”。DNA會移動？居然有這種事！有些人感到不可思議。其實倒也不必太驚訝，因我們已多次舉出不可能卻發生的事件了。
上述文章中指出：
DNA分析以統計模型做出預測，比起其他法醫技術，更為明確與客觀。(DNA analysis is more definitive and less subjective than other forensic techniques because it is predicated on statistical models.)
一般而言，利用統計，當然比其他方法更明確且更客觀，這是無庸置疑的。但該文要講的重點是：
DNA檢驗和其他證據一樣，透露的僅僅是完整案件的其中一個面向。…。如果我們過度依賴這個方法，以及在檢視DNA證據時，缺乏適度的質疑，誤判案例早晚會發生。例如，生物樣本可能分解，或遭到污染，而法官和陪審團可能曲解統計機率(statistical probability)。甚至，就像安德森一案所揭露的，皮膚細胞也可以“移動”。…。一個人攜帶的衣物，就算只是碰到另一人的脖子，都可能把後者的DNA，轉移到此人從未接觸過的物體上。…。DNA的轉移究竟有多常引發錯誤的指控，目前仍未知。
與DNA的比對類似，統計裡的假設檢定，此一科學的思維與方法，的確常能讓人們將事情看得更清晰，因而有助於提高決策品質。但切記它並非萬無一失。若“過度依賴，而缺乏適度的質疑”，則誤判的發生，便絕非偶然。
