國立高雄大學統計學研究所
最新消息 本所簡介 師資介紹 開設課程 教師成果 學生表現 學術演講 入學管道 學生園地 心在南方 表格下載 活動集錦 網路資源 關於我們
本站首頁 本校首頁 英文版
:::心在南方  
主題:統計下凡(三十五)
發表者:黃文璋 Email:huangwj@nuk.edu.tw 日期:2022/2/6 下午 12:16:01

35 高中數學裡的信賴區間

九五課綱起,高中數學裡引進信賴區間,直到“108課綱才取消,解除了十餘年來,高中數學課程裡的困擾。底下藉兩道考題,以了解信賴區間何以不適合放在高中數學裡。先看98學年,學測數學裡的一道多選題:

某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比(以下簡稱為知名度”)。結果如下:在95%信心水準之下,該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為[0.50,0.58][0.08,0.16]。試問下列那些選項是正確的?

(a) 甲地本次的參訪者中,54%的人聽過該產品。

(b) 此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數。

(c) 此次調查結果可解讀為:甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於95%

(d) 若在乙地以同樣方式進行多次民調,所得知名度有95%的機會落在區間[0.08,0.16]

(e) 經密集廣告宣傳後,在乙地再次進行民調,並增加參訪人數達原人數的四倍,則在95%信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半(0.04)

大考中心"公佈的答案為(a)(b)

這可能是大學統計課程裡,極罕見的題型。在大學教統計的教授,相信有不少看到這種考題時,應會傻眼,無從答起。對這類民調,高中數學課本通常給出型式如下的信賴區間:

(1) [(Sn/n-1.96(Sn/n(1-Sn/n)/n)1/2,Sn/n+1.96(Sn/n(1-Sn/n)/n)1/2]

其中如前Sn=X1+X2+…+Xnn≥1,而X1X2Xn分別表分別表依序調查所得之結果,而Xi=1,或0,就依第i個被訪問的居民,是否聽過該項產品,i=1nSn/n表調查後之知名度,即聽過該項產品的居民之百分比。又,1.96是由95%的信心水準而來。可看出(1)式中的區間,有Sn/n±1.96(Sn/n (1-Sn/n)/n)1/2之型式,且區間中心為Sn/n,區間半徑為1.96(Sn/n(1-Sn/n)/n)1/2

將所給甲地的信賴區間[0.50,0.58](1)式比較,得Sn/n=0.54。故選項(a)正確。甲乙兩地知名度之信賴區間,其中心Sn/n分別為0.540.12,但區間半徑皆為0.04。因

0.54×(1-0.54)=0.2484>0.1056=0.12×(1-0.12)

顯然乙地的n較小。選項(b)為正確,也就出來了。看到這裡,不禁令人好奇,這比較像道簡易的數學題目吧!豈有絲毫統計的味道?

選項(c)不在答案裡,此值得斟酌。在統計裡,依理念之不同,甚至就只是主觀,可有各種推論,及各種解讀。被視為一意孤行或見解偏頗者,還可能自以為擇善固執或獨具慧眼呢!數學裡就不行,有一套邏輯,不可自由推論、隨意解讀。選項(c)既然問此次調查結果可否解讀,光憑問句中的解讀二字,此選項就可判定為正確。何況題目裡說,95%信心水準之下,該產品在甲地的知名度之信賴區間為[0.50,0.58]”。如前指出,採主觀機率,先將題意解讀為知名度會有95%的機率,落在區間為[0.50,0.58]。由此得知名度有大於95%的機率是一半以上,因知名度落在[0.50,0.58],都已有95%的機率了。再繼續解讀為甲地全體居民中,有一半以上的人聽過該產品的機率大於95%”,不正是依民調結果,一連串合理的推論嗎?此正如某機構公佈新近完成之台灣各縣市長的民調,其中某市長之支持度為32%。有人宣稱,該市長的支持度岌岌可危,比上次調查少了11%。但有人卻不以為然,因另一常被拿來相比的市長,其支持度也不過35%,兩人支持度差不了太多。又如對於美國軍事人員在台灣,有人說是部隊駐台,有人說是外國兵力進駐台灣,但也有人說不過是交流協訓,不必大驚小怪。上述幾種不同的解讀,很難說那一正確。另外,二次世界大戰期間,歐洲有將近6百萬猶太人被殺害,戰後在世界各地,蓋了不少被害猶太人紀念碑。但亦有些猶太人,對某些紀念碑的設計提出質疑,我們的傷痛,豈能讓人隨意解讀?凡此種種,皆說明所謂解讀,是沒什麼一致標準的,甚至還常淪於各說各話。因而學測裡出現這類不易有定論,以解讀發問的選項,並不恰當。

再來看99學年學測數學的一道多選題:

想要了解台灣的公民對某議題支持的程度所作的抽樣調查,依性別區分,所得結果如下表:

女性公民

男性公民

贊成此議題的比例 p^

0.52

0.59

p^ 的標準差 (p^(1- p^)/n)1/2

0.02

0.04

請問從此次抽樣結果可以得到下列哪些推論?

(a) 全台灣男性公民贊成此議題的比例大於女性公民贊成此議題的比例。

(b) 95%的信心水準之下,全台灣女性公民贊成此議題之比例的信賴區間為[0.48,0.56](計算到小數點後第二位,以下四捨五入)

(c) 此次抽樣的女性公民數少於男性公民數。

(d) 如果不區分性別,此次抽樣贊成此議題的比例p^ 介於0.520.59之間。

(e) 如果不區分性別,此次抽樣 p^ 的標準差 (p^(1- p^)/n)1/2 介於0.020.04之間。

大考中心公佈的答案為(b)(d)

選項(a),如前所述,統計考題裡並不適合問可以得什麼推論。不過由所給答案,我們來推敲命題者的用意。調查結果,男性及女性之贊成比例,其95%信賴區間,分別約為[0.51,0.67][0.48,0.56]。由於兩區間有重疊,猜想這可能是(a)不被命題者視為正確選項的原因。但比較二未知量的大小,並不一定得依靠信賴區間。若採點估計,因0.59>0.52,由此得到(a)之推論不行嗎?即使採信賴區間來相比,非得取95%?採68%不行嗎?而若採68%,則男女贊成比例之信賴區間,便各約為[0.55,0.63][0.50,0.54],不再重疊了。在統計裡,可有各種推論法,且常無那一推論法永遠最佳,只能依不同的標準評比。至於選項(b)(c)(d),及(e),乃考是否熟悉課本上所給信賴區間的公式。(c)(d),及(e),甚至根本是在考數學。

在本人所寫機率統計考題探討”(2012)一文裡,曾將98101學年,學測數學,及指考數學甲、數學乙,4年間共12份試題,挑出機率與統計方面,值得商榷的題目來討論。在該文的結論裡寫著:

看來信賴區間快沒題目可考了。。現今大學入學考,不論學測或指考的數學科,機率統計的考題,有時像在考三民主義,思想要很制式,才易得高分。

本來估計的教學,就宜以估計為主要目的。對想以一區間來估計一參數的教材,便該常在求出信賴區間。大學的統計課程裡,在信賴區間那章,有各種分佈,及期望值、標準差,還有它們的函數等,且各分佈不乏有不只一個參數可估計。可於不同的情況下,探討如何求得參數的信賴區間。由於包含的內容不少,因此進度慢不下來,教師快速講授,學生匆忙學習,甚至囫圇吞棗,因而根本無暇去思考信賴區間的內涵,如信心水準95%,其中95%的意義為何?這可能是何以多年來,大學信賴區間的教學,少見困擾的主因。並非修習學生個個皆能融會貫通,而是問題不太浮現。但在高中數學裡,引進信賴區間唯一的目的,便是為了給出民調時,對某議題估計支持度的信賴區間。既然是民調,不論那一議題,對每位選民的調查結果,不外支持或不支持,這涉及Ber(p)分佈,其中參數p就是擬估計的支持度。但由於取樣不放回,對n個人調查後,所得之n個樣本並不獨立,因而無法利用中央極限定理來近似。給一即使大學數學系畢業生,多半仍一知半解的定理,且定理中已指出樣本須獨立且有相同分佈才適用,如今此定理之唯一且立即的應用,是從事民調時,所得那組不獨立的樣本,條件不滿足還引用該定理,師生怎能不充滿疑惑,感到混亂不已?更不要說其中涉及的機率涵義,絕非三言兩語可講清楚。信賴區間的難度,被將其引進九五課綱的學者,嚴重低估了。

就只針對不獨立的nBer(p)分佈隨機變之和,要求參數p的信賴區間、以常態分佈來近似,且信心水準僅設定為95%。內容如此少,因而求信賴區間的題目,便相當缺乏變化,加上計算又容易,在教學目的幾乎可說僅是考試的高中,如何命題呢?於是倒過來,先給出信賴區間,然後來解剖該區間,前述那些類型的考題遂產生了。即使在大學教了多年統計學的教授,面對這樣的多選題,都會傻眼。他們何時出過如此型式的考題?學測或指考裡的信賴區間考題,曾有大學統計學教授硬著頭皮去做答,卻在5個選項中,錯了好幾個。雖然這樣,但翻來覆去,畢竟就只有那幾套題型,久後便被高中師生破解,知道命題者想要的答案。思想正確才易答對,那不就像在考三民主義嗎?也因如此,我們才認為快沒題目可考了。事實上,從102110學年,9年間的學測及指考,除了102學年指考的數學乙,有一道多選題的信賴區間外,便再無信賴區間的考題了。到這個地步,信賴區間是可移出高中了。而果然。2019年開始實施的“108課綱,就取消信賴區間了。

除了中學引進信賴區間不易講清楚外,因信心水準的引進,使得師生連對機率的涵義都感到疑惑了,再加上考題往往會將學生帶進統計的死胡同,無法讓學生吸收到有意義的統計概念,制訂“108課綱時,將信賴區間自高中數學移除,是正確的。信賴區間誤進高中數學十餘年,終於灰頭土臉地離開。

   暫無回應
 回本區首頁 
  回應總數0  
 
 
  下一頁  
  
 
我要回應
姓 名: 回應前,請先註冊登入
E-mail:
內 容:
驗證碼:  (0O90
 
 
:::
 
*

地  址:811高雄市楠梓區高雄大學路700號
電  話:07-5919362 傳真:07-5919360 e-mail: stat@nuk.edu.tw
更新日期:2024/5/16 上午 09:00:18

2003/10/20起第 9642617 位訪客
*