35 高中數學裡的信賴區間

自“九五課綱”起，高中數學裡引進信賴區間，直到“108課綱”才取消，解除了十餘年來，高中數學課程裡的困擾。底下藉兩道考題，以了解信賴區間何以不適合放在高中數學裡。先看98學年，學測數學裡的一道多選題：

某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比(以下簡稱為“知名度”)。結果如下：在95%信心水準之下，該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為[0.50,0.58]、[0.08,0.16]。試問下列那些選項是正確的？

(a) 甲地本次的參訪者中，54%的人聽過該產品。

(b) 此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數。

(c) 此次調查結果可解讀為：甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於95%。

(d) 若在乙地以同樣方式進行多次民調，所得知名度有95%的機會落在區間[0.08,0.16]。

(e) 經密集廣告宣傳後，在乙地再次進行民調，並增加參訪人數達原人數的四倍，則在95%信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半(即0.04)。

“大考中心＂公佈的答案為(a)、(b)。

這可能是大學統計課程裡，極罕見的題型。在大學教統計的教授，相信有不少看到這種考題時，應會傻眼，無從答起。對這類民調，高中數學課本通常給出型式如下的信賴區間：

(1) [(S_n/n-1.96(S_n/n(1-S_n/n)/n)^1/2,S_n/n+1.96(S_n/n(1-S_n/n)/n)^1/2]，

其中如前S_n=X₁+X₂+…+X_n，n≥1，而X₁，X₂，…，X_n分別表分別表依序調查所得之結果，而X_i=1，或0，就依第i個被訪問的居民，是否聽過該項產品，i=1，…，n。S_n/n表調查後之知名度，即聽過該項產品的居民之百分比。又，1.96是由95%的信心水準而來。可看出(1)式中的區間，有S_n/n±1.96(S_n/n (1-S_n/n)/n)^1/2之型式，且區間中心為S_n/n，區間半徑為1.96(S_n/n(1-S_n/n)/n)^1/2。

將所給甲地的信賴區間[0.50,0.58]與(1)式比較，得S_n/n=0.54。故選項(a)正確。甲乙兩地知名度之信賴區間，其中心S_n/n分別為0.54及0.12，但區間半徑皆為0.04。因

0.54×(1-0.54)=0.2484>0.1056=0.12×(1-0.12)，

顯然乙地的n較小。選項(b)為正確，也就出來了。看到這裡，不禁令人好奇，這比較像道簡易的數學題目吧！豈有絲毫統計的味道？

選項(c)不在答案裡，此值得斟酌。在統計裡，依理念之不同，甚至就只是主觀，可有各種推論，及各種解讀。被視為一意孤行或見解偏頗者，還可能自以為擇善固執或獨具慧眼呢！數學裡就不行，有一套邏輯，不可自由推論、隨意解讀。選項(c)既然問此次調查結果可否“解讀”為…，光憑問句中的“解讀”二字，此選項就可判定為正確。何況題目裡說，“在95%信心水準之下，該產品在甲地的知名度之信賴區間為[0.50,0.58]”。如前指出，採主觀機率，先將題意解讀為知名度會有95%的機率，落在區間為[0.50,0.58]。由此得知名度有大於95%的機率是一半以上，因知名度落在[0.50,0.58]，都已有95%的機率了。再繼續解讀為“甲地全體居民中，有一半以上的人聽過該產品的機率大於95%”，不正是依民調結果，一連串合理的推論嗎？此正如某機構公佈新近完成之台灣各縣市長的民調，其中某市長之支持度為32%。有人宣稱，該市長的支持度岌岌可危，比上次調查少了11%。但有人卻不以為然，因另一常被拿來相比的市長，其支持度也不過35%，兩人支持度差不了太多。又如對於美國軍事人員在台灣，有人說是“部隊駐台”，有人說是“外國兵力進駐台灣”，但也有人說不過是“交流協訓”，不必大驚小怪。上述幾種不同的解讀，很難說那一正確。另外，二次世界大戰期間，歐洲有將近6百萬猶太人被殺害，戰後在世界各地，蓋了不少被害猶太人紀念碑。但亦有些猶太人，對某些紀念碑的設計提出質疑，“我們的傷痛，豈能讓人隨意解讀？”凡此種種，皆說明所謂“解讀”，是沒什麼一致標準的，甚至還常淪於各說各話。因而學測裡出現這類不易有定論，以“解讀”發問的選項，並不恰當。

再來看99學年學測數學的一道多選題：

想要了解台灣的公民對某議題支持的程度所作的抽樣調查，依性別區分，所得結果如下表：

請問從此次抽樣結果可以得到下列哪些推論？

(a) 全台灣男性公民贊成此議題的比例大於女性公民贊成此議題的比例。

(b) 在95%的信心水準之下，全台灣女性公民贊成此議題之比例的信賴區間為[0.48,0.56](計算到小數點後第二位，以下四捨五入)。

(c) 此次抽樣的女性公民數少於男性公民數。

(d) 如果不區分性別，此次抽樣贊成此議題的比例p^ 介於0.52與0.59之間。

(e) 如果不區分性別，此次抽樣 p^ 的標準差 (p^(1- p^)/n)^1/2 介於0.02與0.04之間。

“大考中心”公佈的答案為(b)、(d)。

選項(a)，如前所述，統計考題裡並不適合問可以得什麼“推論”。不過由所給答案，我們來推敲命題者的用意。調查結果，男性及女性之贊成比例，其95%信賴區間，分別約為[0.51,0.67]，[0.48,0.56]。由於兩區間有重疊，猜想這可能是(a)不被命題者視為正確選項的原因。但比較二未知量的大小，並不一定得依靠信賴區間。若採點估計，因0.59>0.52，由此得到(a)之推論不行嗎？即使採信賴區間來相比，非得取95%？採68%不行嗎？而若採68%，則男女贊成比例之信賴區間，便各約為[0.55,0.63]及[0.50,0.54]，不再重疊了。在統計裡，可有各種推論法，且常無那一推論法永遠最佳，只能依不同的標準評比。至於選項(b)、(c)、(d)，及(e)，乃考是否熟悉課本上所給信賴區間的公式。(c)、(d)，及(e)，甚至根本是在考數學。

在本人所寫“機率統計考題探討”(2012)一文裡，曾將98至101學年，學測數學，及指考數學甲、數學乙，4年間共12份試題，挑出機率與統計方面，值得商榷的題目來討論。在該文的結論裡寫著：

看來信賴區間快沒題目可考了。…。現今大學入學考，不論學測或指考的數學科，機率統計的考題，有時像在考三民主義，思想要很制式，才易得高分。

本來估計的教學，就宜以估計為主要目的。對想以一區間來估計一參數的教材，便該常在求出信賴區間。大學的統計課程裡，在信賴區間那章，有各種分佈，及期望值、標準差，還有它們的函數等，且各分佈不乏有不只一個參數可估計。可於不同的情況下，探討如何求得參數的信賴區間。由於包含的內容不少，因此進度慢不下來，教師快速講授，學生匆忙學習，甚至囫圇吞棗，因而根本無暇去思考信賴區間的內涵，如信心水準95%，其中95%的意義為何？這可能是何以多年來，大學信賴區間的教學，少見困擾的主因。並非修習學生個個皆能融會貫通，而是問題不太浮現。但在高中數學裡，引進信賴區間唯一的目的，便是為了給出民調時，對某議題估計支持度的信賴區間。既然是民調，不論那一議題，對每位選民的調查結果，不外支持或不支持，這涉及Ber(p)分佈，其中參數p就是擬估計的支持度。但由於取樣不放回，對n個人調查後，所得之n個樣本並不獨立，因而無法利用中央極限定理來近似。給一即使大學數學系畢業生，多半仍一知半解的定理，且定理中已指出樣本須獨立且有相同分佈才適用，如今此定理之唯一且立即的應用，是從事民調時，所得那組不獨立的樣本，條件不滿足還引用該定理，師生怎能不充滿疑惑，感到混亂不已？更不要說其中涉及的機率涵義，絕非三言兩語可講清楚。信賴區間的難度，被將其引進“九五課綱”的學者，嚴重低估了。

就只針對不獨立的n個Ber(p)分佈隨機變之和，要求參數p的信賴區間、以常態分佈來近似，且信心水準僅設定為95%。內容如此少，因而求信賴區間的題目，便相當缺乏變化，加上計算又容易，在教學目的幾乎可說僅是考試的高中，如何命題呢？於是倒過來，先給出信賴區間，然後來“解剖”該區間，前述那些類型的考題遂產生了。即使在大學教了多年統計學的教授，面對這樣的多選題，都會傻眼。他們何時出過如此型式的考題？學測或指考裡的信賴區間考題，曾有大學統計學教授硬著頭皮去做答，卻在5個選項中，錯了好幾個。雖然這樣，但翻來覆去，畢竟就只有那幾套題型，久後便被高中師生破解，知道命題者想要的答案。“思想正確”才易答對，那不就像在考三民主義嗎？也因如此，我們才認為快沒題目可考了。事實上，從102至110學年，9年間的學測及指考，除了102學年指考的數學乙，有一道多選題的信賴區間外，便再無信賴區間的考題了。到這個地步，信賴區間是可移出高中了。而果然。2019年開始實施的“108課綱”，就取消信賴區間了。

除了中學引進信賴區間不易講清楚外，因信心水準的引進，使得師生連對機率的涵義都感到疑惑了，再加上考題往往會將學生帶進統計的死胡同，無法讓學生吸收到有意義的統計概念，制訂“108課綱”時，將信賴區間自高中數學移除，是正確的。信賴區間誤進高中數學十餘年，終於灰頭土臉地離開。