國立高雄大學統計學研究所
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主題:統計下凡(三十六)
發表者:黃文璋 Email:huangwj@nuk.edu.tw 日期:2022/2/13 上午 11:52:12

36 風險

嗜賭普遍被認為是不好的習性,不少嗜賭者後來傾家蕩產、眾叛親離。勸人戒賭者,常會說十賭九輸。現假設有某好賭的A君不服氣,提出如下一簡單的賭局:每回不論下多少賭注,輸了賭注被收走,贏了則除拿回賭注亦獲賠相同金額。並未限定這是一公正賽局,但A君給出如下必勝策略:第1次賭a元,a>0,贏了就停止不賭,輸了第2次賭2a元。再度,贏了就停止不賭,輸了第3次賭22a元,餘類推。我們來看此是否真為必勝策略。

假設賭到第k次結束後停止,則第k次贏2k-1a元,而前(k-1)次共輸

(1+2+…+2k-2)a=(2k-1-1)a元。

故賭局停止時,A君淨贏a元。此策略看起來是能必勝,但真能這樣做嗎?底下來分析。

設每次A君贏的機率為p,即輸的機率為1-p0<p<1。若p≠0.5,此便非一公正的賽局。但A君信心滿滿,認為不論p多小,他贏定了。現設至停止時,A君共賭X次,則

P(X=k)=p(1-p)k-1k≥1

X有參數為p之幾何分佈。因E(X)=1/p,若p=0.5,賭局平均2次結束。即使p=0.1,賭局平均10次結束,賭的次數總是有限的,且除非p很小,否則通常並不必賭太多次。但由

P(Xk)=(1-p)k-1k≥1

雖平均有限次便能結束賭局,但所需賭的次數,卻可能(機率為正)無止盡的大。事實上,若A君的口袋夠深,通常的確能淨贏a元,快樂地離去。但當連輸k-1次,且k較大,導致A君擁有的資金已不足2k-1a元,則第k次他便無法下注了。除非賭場能讓他欠錢。但賭場怎會搬磚頭砸自己的腳?所以這並非一真的必勝策略。不過,由此我們得到啟示,對資金夠雄厚者,如果野心不太大(a不大),投資時不冒太大的風險(如避開p太小者),則便較易(機率較大)達到目標。而資金不夠雄厚卻野心過大者,通常便不易達到目標。

再看一例子。設B君參加前述賭局,每回賭注多寡不拘,且每回他獲勝之機率為0.4,輸之機率為0.6。設B君有n個籌碼,我們來比較二策略。策略()乃一次n個籌碼全下注,且只賭1次。令Sn表賭局結束後,B君之淨所得。則可求出

E(Sn)=-0.2nVar(Sn)=0.96n2

策略()乃每次賭1籌碼,共賭n次,令Tn表賭局結束後,B君之淨所得。則可求出

E(Tn)=-0.2nVar(Tn)=0.96n

在賭局對B君不利下,策略()的孤注一擲,與策略()之分散風險,B君淨所得之期望值不變,都是-0.2n,但前者之變異數為後者之n倍。即在本例中,B君若採分散風險策略,將使損失之變異數減小。

在上例中,當n夠大時,由中央極限定理,

(Tn+0.2n)/(0.96n)1/2

其分佈近似於N(0,1)。故

(1) P(Tn<0)≈P(Z<0.2n/(0.96n)1/2)

(2) P(|Tn+0.2n)/(0.96n)1/2|≤3)≈P(|Z|≤3)

其中ZN(0,1)分佈。現取n=10,000,代入(1)式,得

P(T10,000<0)≈P(Z<2,000/(9,600)1/2)≈P(Z<20.41)

超過20個標準差,不必查表,也不必用計算器,此機率幾乎是1了。即在賭局不利下,若採孤注一擲的策略,則B君有0.4的機率,淨所得為正數10,000;但若採分散風險策略,則B君之淨所得幾乎(機率極接近1)是負的。次將n=10,000,代入(2)式,則有

P(|(T10,000+2,000)/(9,600)1/2|≤3)≈P(|Z|≤3)≈0.9973

P(-2,294<T10,000<-1,706)≈0.9973

因而不像採策略(),有0.4的機率,B君之淨所得為正數10,000,採策略(),淨所得有極大機率(0.9973),介於-2,294-1,706間。雖幾乎是穩輸,但不像採策略(),有不小的機率(0.6)輸很多(10,000)。此例說明,何以在賭場、商場或戰場上,居劣勢的一方,屢採孤注一擲策略,因這樣仍有贏的機會,雖一旦輸就是損失很大。至於步步為營者,雖損失不會過大,卻沒什麼取勝的機會。

買保險有必要嗎?既說是,便知其中有風險。有人樂於買保險,沒理賠時覺得很好,畢竟健康平安最幸福,而一旦生病住院醫療,獲得理賠時,便覺幸好有投保。保險公司在負擔包含員工薪資等各種行政費用,還要獲利,因而對投保者而言,直觀上,其希望淨所得必為負值,即這是一非公正的賽局。但之所以願意投保,並非為了賺錢,乃基於每年的保費自己負擔得起,而世上災禍難料,若因醫療需要,得有大筆支出,此時便有保險做後盾了。另一方面,保險公司也並非必然獲利,它也是有風險的。眾所周知,保險公司乃向投保人收取保費,以支付經營的各種開銷。保費要仰賴精算師(actuary)細算,利用死亡、傷害及意外等各種數據,以制定保單。但即使經過精算,也難免會遇到很多人同時要求理賠的情況,當然那可能百年才一次。如2001911日,發生在美國包括紐約市在內數地的九一一襲擊事件(September 11 attacks),因該事件而死亡或失蹤的總人數,至少有2,996人。又,並非只有恐怖攻擊,才會導致大量死亡,也有人謀不臧的。如因隨意更動建築設計,導致1995629日,南韓三豐百貨店倒塌事故(Sampoong Department Store Collapse),造成502人死亡,937人受傷。突如其來的意外,是否會賠不出來?也就是保險公司本身保險嗎?底下以一簡單的例子來說明,保險公司若未適當規畫避險的方式,便絕非穩賺不賠。

根據衛生福利部之統計,2020年,台灣因事故傷害而死亡的人數為6,767人。至2020年底,台灣的人口約2,357萬,故2020年的意外死亡率不妨以

6,767/23,570,000≈2.87×10-4

為估計值。現假設C君成立一家保險公司,只承辦意外事故導致身故才理賠。保費每案一律每年4千,理賠金額則為5百萬,單位皆為台幣的元。又設每一投保案之平均行政支出費用為1,100。以Y表某一投保者在2020年之淨所得,則

E(Y)≈2.87×10-4×5×106-4,000=1,435-4,000=-2,565

為一負值。但該投保者並不太在意,因他是為了一旦遭遇意外身故,可留給家人一個保障,投保可不是為了被理賠。至於對C君而言,以W2020年,對某一投保者,所淨獲之利益。則

E(W)≈4,000-2.87×10-4×5×106-1,100=1,465

對每一投保案,C君平均淨獲利益約1,465,雖不如投保者以為的約有2,565那麼高,但每案之獲利超過35%,比很多行業好多了。那C君是否得承擔風險呢?

假設只有1千人投保,則這1千人皆未意外身故的機率約為(1-2.87×10-4)1,000,因而其中至少有1人意外身故的機率為

1-(1-2.87×10-4)1,000≈1-0.750=0.250

1/4的機率,並不算小。保費扣除行政支出後之總額為

(4,000-1,100)×1,000=2,900,000

因此只要理賠1人,便虧了210萬,在經營初期,C君可說常處於心驚膽跳的狀態。若保戶中,有一群相識者常呼朋引伴來投保,而某回他們搭同一輛遊覽車出遊,卻不幸翻車遇難身亡,C君若資金不夠雄厚,這時將賠慘了。但由中央極限定理可求出,只要保戶夠多,如達到10萬,則C君會虧的機率便很小;若保戶夠達到百萬,則C君會虧的機率,便將微乎其微。但要能撐到保戶達到百萬,資金當然得相當雄厚。

再看一開始那一賭局。設D君每次投注1元,輸了賭注被收走,贏了除拿回賭注亦獲賠1元。又設每次D君贏的機率為p,即輸之機率為1-p0<p<1。令Un表賭n次後,D君之淨所得。則易求出

E(Un)=n(2p-1)Var(Un)=4np(1-p)

n夠大時,由中央極限定理,

P(Un≥1)=P((Un-n(2p-1))/(4np(1-p))1/2≥(1-n(2p-1))/(4np(1-p))1/2)≈1-Φ(((n+1)/2-np)/(np(1-p))1/2)

其中Φ(x)=P(Zx)xR,且ZN(0,1)分佈。現假設D君所賭為歐式輪盤(European roulette),即有136的數字,奇數為紅色,偶數為黑色,再加上一綠色的0。押紅黑中的某色,0出現算莊家贏,即p=18/37,賠率仍設為11。對一些不同的n,我們給出P(Un≥1)之近似值如下:

n=102P(Un≥1)≈0.3555

n=103P(Un≥1)≈0.1876

n=104P(Un≥1)≈3.327×10-3

n=105P(Un≥1)≈5.997×10-18

即設D君之欲望不高,賭n次,只要有贏(Un≥1)即可。若只賭1次,P(U1≥1)=18/37≈0.4865D君的心願尚不難達成。但隨著n之增大,D君將愈來愈難如願。要知對大部分的賭客,一旦上了賭桌,便不易下來,所以他們的n是很大的。因而在此情況下,賭場並不太擔心風險問題。

三國演義第九十五回裡,蜀國承相諸葛亮(181-234)在第一次北伐(即一出祁山)時,魏國派出驃騎大將軍司馬懿(179-251)前去對抗。司馬懿對先鋒張郃(生年不詳-231)論斷諸葛亮,諸葛亮平生謹慎,未敢造次行事。若是吾用兵,先從子午谷逕取長安,早得多時矣。他非無謀,但怕有失,不肯弄險。子午谷南北縱向,長約330公里,北起陝西省長安縣西南秦嶺山中,南至石泉縣。不肯弄險在此處,被司馬懿視為諸葛亮之一缺點。但在同一回裡,守在西城的諸葛亮,於接獲飛馬來報,說司馬懿引大軍15萬望西城蜂擁而來。由於身邊將領已全派遣出去,且城中僅餘一班文官及二千五百軍,只好擺出空城計。從遠處望到此情況的司馬懿,立即下令退兵。其次子司馬昭(211-265)說,莫非諸葛亮無軍,故作此態?父親何故便退兵?司馬懿回答,亮平生謹慎,不曾弄險。今大開城門,必有埋伏。我兵若進,中其計也。汝輩豈知?宜速退。待魏軍遠去後,餘悸猶存的眾文官,立即問諸葛亮,統率15萬精兵的司馬懿,乃魏之名將,怎麼從遠處,看到承相坐在城樓焚香操琴、悠閒自得,便趕緊撤軍?諸葛亮答道,此人料吾生平謹慎,必不弄險;見如此模樣,疑有伏兵,所以退去。吾非行險,蓋因不得已而用之。原來弄險、不弄險,有時恰當,有時不恰當。

我們雖藉數例,以機率的角度來分析風險,但在實務上,若只賭12次,有些人便不見得認同,僅憑機率的紙上談兵,為恰當的決策。反而習於採弄險或不弄險式地隨機應變,且以成敗論英雄。雖然如此,如同在介紹主觀機率時所說,即使採隨機應變,仍可先評估一下機率。三國演義第九十三回,當魏國軍師王朗(153-228),前來企圖以話術逼迫諸葛亮不戰而退兵。諸葛亮心想,王朗必下說詞,吾當隨機應之。結果一席話下來,反讓王朗聽後,氣滿胸膛,大叫一聲,撞死於馬下。”“三國演義裡,將諸葛亮描述成極擅長隨機應變。但在陳壽(233-297)著的三國志諸葛亮傳裡,於評論諸葛亮時,說他可謂識治之良才,管、蕭之亞匹矣。然連年動衆,未能成功,蓋應變將略,非其所長歟!小說裡或許會過於渲染,陳壽則認為諸葛亮的應變能力有所不足,由於是正史,說不定較接近真實。但無論如何,不論在小說及正史中,均顯示面對風險時,隨機應變的能力是很重要的。

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更新日期:2022/6/30 下午 05:11:42

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