6 易被遺忘的獨立性

某日你逛夜市，在一遊戲攤位前停住了。每次參加要50元，投擲一骰子兩次，若點數和至少有10，便能獲得一隻娃娃。你被可愛的娃娃所吸引，遂想試試手氣。在沒有其他資訊下，骰子不妨就視為公正。則可輕易求出，每次參加能獲得娃娃的機率為1/6，機會不算太大。你第一次擲出6點，喔，局面樂觀起來。因得到娃娃的機率，由1/6提高到1/2。與數學中的不變大異其趣，在隨機世界裡，一旦有新的資訊產生，事件發生的機率，將可能改變，這便是條件機率。機率值會變，是機率的一特性。

一聽到條件機率，你大約覺得沒什麼，中學早學過了。不就是公式

(1) P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，

其中A，B為二事件，且事件B的機率P(B)不為0。在上式中，限制P(B)不可為0是必須的，因P(B)是分母。此處符號我們稍微說明一下。A∩B表事件A與B之交集，即A與B皆發生的事件，而P(A|B)表給定事件B發生之下，事件A發生之條件機率。我們知道交集是可交換的，即A∩B=B∩A。又為了簡便，諸如“事件”、“發生”，及“之下”等，這些字眼有時會省略掉。

不要以為只不過是二機率P(A∩B)與P(B)相除，看似沒什麼的條件機率，在應用時，卻屢會讓人感到困惑。在進一步說明前，我們先介紹獨立性(independence)。

什麼時候P(A|B)不受B之影響？也就是何時給定B，A之條件機率不變，即仍等於P(A)？做決策仰賴資訊，如今得知B發生，A發生之機率，卻沒有改變。也就是B這個資訊，對求A的機率時沒用。這種情況引人注意，該將它弄清楚。首先，由(1)式，可看出當

(2) P(A∩B)= P(A)P(B)，

便能有P(A|B)=P(A)。反過來，當P(A|B)=P(A)，也導致(2)式成立。唯一略有不同的是，在P(A|B)裡，P(B)不能為0，而在(2)式裡，未對P(B)做任何限制。對二事件A，B，當(2)式成立，我們便說A與B獨立(independent)；反之，若A與B獨立，便表(2)式成立。所以，若A與B獨立，且P(B)不為0，便有P(A|B)=P(A)。由於A∩B=B∩A，所以A與B獨立，及B與A獨立，是同一回事。有時遂會說A與B相互獨立(mutually independent)，但為了簡便，常省略“相互”二字。曾有人說，機率論不過就是測度論(measure theory)加上獨立性的概念。此講法雖有些誇大，但由此可見獨立性在機率論裡之重要。

當(2)式成立，且P(A)不為0，因

P(B|A)=P(B∩A)/P(A)=P(A)P(B)/P(A)=P(B)，

即亦有P(B|A)=P(B)。換句話說，當A與B獨立，且P(A)不為0時，P(B|A)也不受A之影響。易言之，二事件若獨立，則給定其中一事件(只要其機率不為0)，則另一事件之條件機率值不受影響。在本節之始投擲骰子之例裡，第一次擲出的點數(事件A)，與兩次擲出的點數和(事件B)，可看出便不獨立。又讀者可能也看出了，在此例中，兩次投擲的結果，我們乃隱含地假設為獨立，這是常會做的假設。

以上是兩個事件的獨立，也可有n個事件的獨立，其定義此處略過。若n個事件獨立，則其交集的機率，亦等於n個事件各自機率的乘積。

獨立源自於條件機率，那為何在以(2)式定義A與B獨立時，我們並不在意P(A)=0或P(B)=0？這完全不難理解，因發生機率為0的事件，豈有什麼好掛念的？C君問D君，如果他成為台灣首富，願不願意將財產捐出一半？D君毫不猶豫便答應了，還加碼只需留1%花用，其餘99%全捐出，豪氣干雲。於感謝他的慷慨之餘，C君再問D君，願不願意現在便捐1萬元，D君卻遲不回應。怎麼回事?因成為台灣首富，D君認為發生的機率為0，於是什麼都可答應，反正不擔心須兌現。至於1萬元，雖非巨額，卻是實實在在，口袋裡目前便有的，因此得看緊一點。

當事件A與B獨立，則A與B皆發生的機率P(A∩B)，便等於A與B各自發生的機率相乘，也就是(2)式會成立，這時A∩B的機率，便可很快求出。但兩個事件並不見得會獨立，因此(2)式千萬不能隨意引用，除非已確定二事件獨立。只是有些事件的獨立較易看出，有些則不然。底下給幾個例子。

投擲一公正的骰子，令A表出現偶數(即出現的點數可能為2、4或6)，B表出現的點數至少為4(即出現的點數可能為4、5或6)。則A∩B表出現的點數為4或6。立即便有

P(A)=P(B)=1/2，且P(A∩B)=1/3，

由於

P(A)P(B)=1/4，

不等於P(A∩B)，故A與B不獨立。事實上，若已知B發生，則便知出現的點數較可能為偶數(有2/3的機率)。即P(A|B)受到B之影響。此算是稍微想一下，便能看出A與B獨立之例。

假設生男與生女的機率皆為1/2，且設婦女所生各胎孩子的性別為獨立。今有某婦女，令A表她所生的孩子中，有男有女；B表她所生的孩子中，最多有一女孩。先考慮該婦女有2個孩子。則A∩B=A，表她生了一男一女。由於

P(A)=1/2，P(B)=3/4，且P(A∩B)=1/2，

故P(A∩B)與P(A)P(B)不相等，因而A與B不獨立。其次考慮該婦女有3個孩子。則可求出

P(A)=3/4，P(B)=1/2，且P(A∩B)=3/8，

故P(A∩B)=P(A)P(B)，因而A與B獨立。但直觀上並不易看出，何以在第一個情況裡，A與B不獨立，而在第二個情況裡，A與B卻獨立。對該婦女有4個孩子的情況，讀者不妨自行討論，看此時A與B是否獨立。

底下藉著名的“人民訴柯林斯”(People v. Collins)案，來說明若忽視獨立性，其影響可能不小。可參考Gray(1983)一文。

美國曾發生如下一案件。1964年6月18日接近中午時，在洛杉磯(Los Angeles)郊區一條巷子裡，大白天發生一起搶劫案。依受害的老婦人，及一目擊男士，向警方的描述，嫌犯是一對黑白的男女，且具有下述特徵：

黑人男子留鬍子及八字鬍；年輕女孩是高加索人(Caucasian，亦稱白種人)，身高5呎多，金髮且綁個馬尾。兩人開著一輛黃色汽車逃逸。

幾天後，洛杉磯警方以搶劫的罪名，逮捕了柯林斯夫婦(Malcolm Ricardo Collins及Janet Louise Collins)。柯林斯先生是黑人，雖被逮捕時臉上刮得清潔溜溜，但有證據他直到不久前，還留鬍子及八字鬍。金髮的柯林斯太太，則經常綁個馬尾。他們有一輛車身有部分是黃色的林肯汽車(Lincoln)，那是福特汽車公司(Ford Motor Company)的主要品牌之一。只是受害者及目擊者，均無法指證柯林斯先生或他太太，確實就是他們所見到的搶劫者。檢察官科學辦案，利用機率！他還找來附近一所州立大學的一位數學教授，以專家的身分，上法庭為其機率運算作證。

檢察官列出兩位嫌犯的6項特徵，並各給出洛杉磯的居民裡，會有這些特徵的機率：

黑人男子留鬍子，機率為1/10；

男子留八字鬍，機率為1/4；

白人女子有金髮，機率為1/3；

女子綁馬尾，機率為1/10；

同一車內坐一對不同種族的男女，機率為1/1,000；

車身為黃色，機率為1/10。

顯然女子身高5呎多，並未被檢察官列入須考慮的特徵。在法庭上，檢察官問那位數學教授：

若有一些獨立事件，則它們皆發生的機率，為各自發生的機率相乘，這樣是否不對？(Is it not true that if we have independent events we find the probability that they all occur by multiplying the individual probabilities?)

雖可能是這輩子第一次上法庭，在證人席上，該教授也不會忘記求交集的機率時，應留意的關鍵。他試圖指出，上述那些事件“遠非獨立”(far from independent)。大家應會理解，至少留鬍子與留八字鬍，便很可能不獨立。而金髮與綁馬尾，兩事件是否獨立，也得確認一下。但霸氣的檢察官打斷他：

你僅回答問題就好。(Just answer the question.)

這法庭上的攻防場景，正如平常我們在電影裡所見。可憐的教授，他無法強調問題不能如此切割。但有如誤入叢林的小白兔，他只好說：

同意就是相乘。(“Yes，” he had to admit, “one does multiply。”)

檢察官接著問：

這些機率的乘積，難道不是1/12,000,00嗎？(And the product of these probabilities is 1/12,000,000, is it not?)

對這第二個問句，教授只能再度表示同意。已被這些“深奧”機率搞糊塗的眾人，至此鬆了一口氣，無人再對教授提問。任務結束，教授退席，他也鬆了一口氣。本以為這趟法庭之旅，是走出學術象牙塔的第一步，經答了兩個Yes後，可能再也不走入凡間了。他可能納悶，雖檢察官明明是說“若”有一些獨立事件，何以眾人卻忽視那麼明顯的“若”字，直接接受結論。

稍後檢察官乘勝追擊，說他對那些機率的估計，都算相當保守。由於整個洛杉磯都會區的人口約有1,200萬，而符合6項特徵的機率亦為1/1,200萬，因此要在此區域找到柯林斯夫婦外，另一對符合6項特徵的男女，機率大約是10億分之1，也就是幾乎不可能存在。因此他宣稱以數學證明了他們有罪(he had mathematical proof of their guilt)。雖缺乏直接證據，但機率提供的佐證，讓陪審團覺得如此強而有力，因此沒有猶豫，迅即判柯林斯夫婦有罪。

眾多懾服於機率權威的人裡面，當然不會包括柯林斯夫婦。他們可沒被檢察官的機率幻術所迷惑，糊裡糊塗就相信自己真的幹了那起搶劫案。他們提出上訴。1968年，加州最高法院(Supreme Court)以6比1的票數(仍有1位法官留在機率幻術中)翻案，宣判柯林斯夫婦無罪。最高法院的判決書裡，對不要誤用數學(機率)，做了一番提醒，且特別指出:

在我們的電腦化社會裡，數學乃一真實的魔法師，於協助審判者尋找真相時，萬不可施魔法迷惑他。(Mathematics, a veritable sorcerer in our computerized society, while assisting the trier of fact in the search for truth, must not cast a spell over him.)

其中“trier of fact”，乃指審理案件者，可能為陪審團或法官。

附帶一提，就算上述那6項特徵獨立，且檢察官估計的機率都可信，即假設從洛杉磯隨機挑一對男女，符合6項特徵的機率為1/1,200萬，也不表除柯林斯夫婦外，再無其他對男女會符合。洛杉磯有多少對男女，並不得而知。該扣掉小孩，但男女對數，仍應超過人口數1,200萬。就以1,200萬對計好了。由於每對男女符合6項特徵的機率1/1,200萬很小，而男女對數1,200萬很多，利用以波松分佈(Poisson distribution)做為二項分佈之近似(Poisson approximation to the binomial distribution，常簡稱波松近似)，可得洛杉磯的男女中，會符合6項特徵的對數，可以參數1之波松分佈來近似。如此可求出在給定已有一對男女(柯林斯夫婦)符合下，會有另一對符合之機率約為0.4177，此值遠遠大於檢察官所提供，那微乎其微的10億分之1。事實上，若以A表符合的男女對數至少為1，B表符合的男女對數至少為2，則便是要求條件機率P(B|A)=P(B)/P(A )，此因這裡有B∩A=B。至於P(A)及P(B)，便用參數1之波松分佈的機率值來近似，其計算可見黃文璋(2003)頁116。

做決策常會藉助機率，雖往往只不過是些簡單的運算，但其中獨立性卻常被遺忘。曾有人提出核能電廠發生事故造成若干人死亡的機率。如何得到？原來他們認為要步驟一、二、…，皆失誤才會發生事故。依序給出每一步驟發生失誤之機率，然後全部相乘。由此得到一小到不能再小，10的負很多次方的機率值，於是宣稱核能電廠相當安全。就算所提供之每一步驟發生失誤的機率為正確，但各步驟發生失誤之事件獨立嗎？在未確定獨立前，怎可胡亂將那些機率相乘？

參考文獻

1. 黃文璋(2003)。數理統計。華泰文化事業股份有限公司。

2. Gray, M. W. (1983). Statistics and the law. Mathematics Magazine, 56, 67-81.