3 誤差的概念
A君拿一銅板，宣稱為公正，有人問“你怎麼確定？”A君說“那就來投擲看看。”於是持續投擲100次。若出現50次正面，50次反面，你有何評論？嗯！這麼巧！可能會這樣想。不過銅板的公正性，並無可質疑處。如果出現52正及48反呢？總會有波動，些微偏差很正常，沒理由認為銅板不公正。若出現45正及55反呢？有點偏頗，但還沒大到無法忍受的地步，不能就此說銅板不公正。若出現58正及42反呢？這屬於不算小的偏差，不像只是肇因於運氣不佳所致，銅板真的公正嗎？大約會興起懷疑了。那若出現63正及37反呢？此時對銅板為公正，可能便無法接受了。再考慮另一情境。如果A君得到50正及50反後，在眾人矚目下，重來一回，仍得50正及50反，此時你會更加相信銅板為公正嗎？恐怕不會，反而將懷疑其中有詐，否則那有那麼巧？如果再一回，仍得50正及50反呢？連續3回了，此時很可能有不少人，將不相信A君沒有作假了。
銅板投擲100次，假設各次投擲的結果相互獨立，則出現50正及50反的機率約為0.0796，發生其實並非太稀罕。至於連續3回，皆得50正及50反，機率約為0.07963≈0.0005。可以這麼說，巧歸巧，萬分之5的發生機率，卻還不真的小到可列為“不可能”的事件。但看起來太巧合的事件發生，大部分的人，往往沒想先算一下機率再說，直覺反應便是，怎麼可能？這樣輕率的懷疑，誤判自然會不少。
小學生做數學計算題，常被要求再三驗算，務求不犯錯。若幾次所得答案均相同，才會放心，因少會錯的那麼巧。對隨機現象則完全不一樣，人們了解變異不但會存在，且難以避免。仍以投擲銅板為例。宣稱是公正的銅板，一擲之下，若所得正面數太吻合預期，也就是沒有偏差或偏差太小，或者出現其他過度巧合的結果，有時會引起是否有動什麼手腳的懷疑。所得正面數與預期略有偏差，反而認為合理，而心安地接受“銅板為公正”的前提。但若偏差太大就不行，“銅板為公正”的前提，可能就會被放棄了。
對一銅板，很多時候，並不知出現正面出現的機率p為何。如何估計p？一常見的作法是，持續投擲n次，假設各次投擲的結果相互獨立，則以所得正面數X的相對頻率X/n，來估計p。這種是所謂點估計(point estimation)，因是以一個點(值)，來估計一未知參數。點估計雖是一毫不含混的估計，只是每次所得的X不盡相同。更明確地說，當n固定時，隨機變數X有參數n，p之二項分佈(binomial distribution)。既然會得到不同的X，便不會每個X/n都等於p。實務上，有時會讓人覺得這樣的估計準嗎？於是遂產生對p的另一種估計法，即區間估計(interval estimation)。也就是以一區間來估計一未知參數，並給出該參數落在此區間之機率。前述區間稱為信賴區間(confidence interval)，伴隨的機率，則稱為信心水準(confidence level)，或信賴係數(confidence coefficient)。信心水準通常以百分比來表示。信心水準是否愈大愈好？愈大難道不表示愈有信心？倒也不見得。信心水準愈大，區間將愈長，估計的明確性，便隨之而降，反而可能讓人對估計不太有信心了，並非一定較好。95%是一常取的信心水準。
家屬想知道已病入膏肓的親人，還有多少來日？醫生答以6個月。結果可能才過了2個月又10天便去世了，家屬措手不及；但也可能家屬一切準備妥當，卻過了10個月仍存活。因而會有家屬抱怨醫生信口開河，專業能力不足。若醫生答以病人尚可存活1個月至11個月，雖不像只給一個明確值6個月，有斬釘截鐵式的權威，卻會讓人覺得這樣的醫生，更科學、更值得信賴，因而對他更有信心。但畢竟是隨機現象，說不準是常態，豈會必然就在1至11個月間死亡？除給一存活期的區間估計外，若醫生能附上病人存活期落在該區間之機率，譬如說95%，則家屬對親人的來日究竟有多長，將有一更清晰的概念。
如前所述，對銅板出現正面之機率p，X/n可當做一點估計。至於信賴區間，常取成一個以X/n為中心的區間，型式如[X/n-d, X/n+d]，並附上對應的信心水準。信賴區間的半徑d，稱為估計誤差，或說抽樣誤差，或就簡單的稱做誤差。。誤差d當然愈小愈佳，若過大，往往會被認為此估計太粗糙。欲得較小的d，除了以較好的估計法外，通常得仰賴較大的樣本數n。另外，有時是倒過來，先給信心水準，及估計誤差d，然後求所需的樣本數n。信心水準、樣本數n及誤差d，此三者通常給出其中兩個，另一便能求出(有時是得到近似值)。X有二項分佈，由於一方面參數n，p中的p未知，另一方面，二項分佈之機率值，為一串有階乘數(即符號！)的數字之和，不太好計算，所以d並無法有效地求出。幸好n較大時，X/n經標準化(即減去期望值後，除以標準差)後，其分佈可以中央極限定理(Central limit theorem)來近似，因而求出近似的d。
在此，對信心水準的涵義略說明如下。我們以估計銅板出現正面之機率p為例。假設有k個人，對同一銅板，分別投擲n次。由於每人所得之X/n可能不同，因此各人所得之95%信賴區間，也就可能不同。那k個信賴區間，有些包含(實際的)p，有些則不包含。但只要k夠大，其中便大約有95%比例的信賴區間包含p。這便是信心水準95%之意義。
不要覺得中央極限定理很難，此定理早已堂而皇之地出現在高中數學裡。當年在訂定95課綱時，課綱委員會決定在高中數學中，放些統計題材。放什麼好呢？總是要有用且不太難的。媒體上不時刊登有關各種民調的報導，結尾皆有如下說明：
此次民調由xxx民意調查中心舉辦，在x月x日辯論會後進行，以電話方式隨機訪問903位成年民眾，另有150人拒絕訪問。在百分之95的信心水準下，抽樣誤差在正負3.3個百分點之內。調查是以台閩地區住宅電話為母體作尾數兩位隨機抽樣，結果依台閩地區20歲以上人口之性別、年齡及設籍縣市結構進行加權，調查經費來自xxx。
“抽樣誤差在正負3.3%內”，其中的3.3，便是之前的誤差d，在民調裡常以百分比表之。想了解某地區民眾，對某議題之支持率，經由抽樣調查後，得到對該議題之支持率，再算出抽樣誤差d，便得到支持率估計的信賴區間。可能是由於有關民調的報導經常可見，若干課綱委員，因而認為信賴區間，應是一基本的統計知識。於是自民國95年起，信賴區間進入高中數學。而為了近似，中央極限定理也跟著被引進高中數學。
做民調時，信心水準通常取成95%，抽樣誤差則預定為3%，由此換算出所需成功訪問的樣本數n約為1,068。實際調查結束，經篩選後，有效樣本數n不一定能剛好是1,068。由所得到的n，以下式換算出近似的抽樣誤差
(1) d ≈ 0.98/n1/2。
若n大於1,068，則抽樣誤差便小於3%，否則大於3%。以前述所引報導裡的n=903為例，代入(1)式，得抽樣誤差d=0.98/9031/2≈0.0326≈3.3%，報導中的3.3%就是這樣來的。
之前所提的以隨機取球，來估計袋中紅球所佔比例，跟以投擲銅板，來估計正面出現的機率，二者間其實有一很大的不同。投擲銅板，可假設各次投擲的結果為相互獨立。除非有人蓄意作假，否則這假設是合理的。而在獨立的假設下，也就有投擲n次後，所得正面數有二項分佈。但自袋中隨機取球，且取出後不放回，各次取球的結果，便不獨立，因此取n次後，其中所得之紅球數，並沒有二項分佈，而有超幾何分佈(hypergeometric distribution)，這時中央極限定理，其實是不適用的。
民調的抽取樣本，一般類如前述取球的方式。即隨機取樣，且取出後不放回(稱做簡單隨機抽樣，simple random sampling)，因此各次取樣並不獨立。於是涉及的分佈，為超幾何分佈，而非二項分佈。那為什麼民調抽樣時，不採取出後放回？因要讓人願意受訪都不容易了，總不能在完成訪問後，稍後告訴他，你又被被抽中了，要再訪問你一遍。所以原本中央極限定理，並不適用在民調裡的近似。但若抽取的樣本數(通常幾千)，比起地區的人口數(假設至少有幾十萬)少很多，則將取出後不放回，視為取出後放回，便說得過去，就當做是近似。如此便能藉助中央極限定理來近似，計算上的確方便許多。這樣的便宜行事，當然產生誤差了。但在所有的誤差裡，此誤差其實算不了什麼。
銅板或球，那一面或什麼顏色，皆可相當清楚地辨別。而且不論板或球，都能無怨無悔地被投擲或抽取。但每個人是一單獨的個體，並無法像球一般，視為外形不可區別。人會拒訪、不在家、未擁有電話、不誠實回答問題、會改變看法，且不一定去投票。拒訪或聯絡不上的族群，與成功受訪者之意見，差異有可能很大。再加上從問卷設計、調查流程，至結果分析，都可能不夠客觀。這林林總總，有意無意下所產生的誤差，將遠遠大於取樣不放回，所造成的超幾何分佈，而非二項分佈之誤差。
媒體公佈的候選人之民調，有時會說兩候選人支持率的差異在誤差範圍內，這是什麼意思？假設有兩後選人C與D，民調後得C之支持率為38.73%，D之支持率為41.72%，且抽樣誤差在正負3.26%內。由於D之支持率比C之支持率高出2.99%，小於抽樣誤差3.26%，遂說差異在誤差範圍內。又此時對C與D支持率估計的信賴區間，分別為[35.47, 41.99]與[38.46, 44.98]。兩區間有重疊，顯示所估計D之支持率，不見得一定高過C。差異在誤差範圍內，乃表就算支持率領先，但高出不算太大，翻盤機會不容忽視，雙方都須再加把勁。
有人說不定好奇，抽樣誤差何以不設定較小的值，例如1%，讓民調的結果更精準些？由(1)式，抽樣誤差若要由3%降為1%，樣本數須增至9倍。樣本數9倍，在短時間內，要完成調查，難度將增大許多。另一方面，由於要完成的樣本數大幅增加，在時間壓力下，說不定另產生誤差，反而得不償失。更何況，我們已指出，在整個調查過程中，無法避免的各種誤差極多，且還數度用到近似，估計要真的夠準確，幾乎是不可能的任務。信心水準真的是95%嗎？誤差真的是3.3%？一點都不能去深究。民調可說是在不擬寄託在怪力亂神下，要對未來預測，沒有辦法中的辦法，但準確性應勝過占卜。民調的結果，不過是供參考而已，主要是讓人們對民意走向，略有些概念，並不企圖扮演鐵口直斷的角色。若過度追求較小的抽樣誤差，將有如明察秋毫之末，而不見輿薪。
最後，要指出的是，萬不可以為能帶著(1)式走遍天下。(1)式乃基於中央極限定理，那是大樣本下的結果。的確有些教科書指出，除若干基本條件外，“通常”樣本數n只要30以上，就可使用中央極限定理來近似。雖是這麼講，但一方面n當然還是較大為宜，否則誤差可能能太大；另一方面可找到極多n已很大，如達到1百萬了，但中央極限定理仍不適合拿來近似之例。無論如何，有關極限的定理，應用時務必要很謹慎。何況在執行民調的過程中，已一路採用近似了，各種誤差不知有多少，更不宜毫不節制地考慮太小的樣本數。曾見到政府部門所委託，一大規模對全國某族群人口及語言之調查計畫的期中報告，總樣本數有幾千，並不算少，但分到各鄉鎮，就沒有太多了。該調查報告中，對一樣本數才2的小鄉，仍套用(1)式，而給出該鄉的抽樣誤差
d ≈ 0.98/21/2 ≈ 69.30%。
不要說n=2怎可用(1)式，這麼大的誤差之估計，豈有多少價值？可說對誤差沒什麼概念。誤差概念不佳，不論樣本數再多，得到的估計，其誤差恐將比所宣稱的誤差大許多。
