6 統計可信

538網站，在2016年的美國總統大選前，持續發表預測。表1至表5，給出若干該網站最後的預測值。有些我們也附上實際值，以供比較。

為讓大家對獲勝及當選機率，能有所了解，先舉一簡單的例子。假設美國只有3州，以A、B，及C稱之，各有10、15，及20張選舉人票，共45張。又假設3州皆採贏者全拿制。則任一總統候選人，要拿到過半數，即至少23張的選舉人票，才能勝選。某次總統大選，有M及N兩位主要的候選人。假設M在3州的獲勝機率分別為0.5、0.7，及0.8；N在3州的獲勝機率分別為0.5、0.3及0.2。顯然M很佔優勢。由於得23張以上的選舉人票，表至少贏2州，因此兩位候選人，要當選都有相同的4種可能：

(A州勝，B州勝，C州勝)，(A州勝，B州勝，C州敗)，(A州勝，B州敗，C州勝)，(A州敗，B州勝，C州勝)。

又假設各州的投票結果相互獨立。由此得

P(M當選總統)

=0.5×0.7×0.8+0.5×0.7×0.2+0.5×0.3×0.8+0.5×0.7×0.8

=0.28+0.07+0.12+0.28=0.75；

P(N當選總統)

=0.5×0.3×0.2+0.5×0.3×0.8+0.5×0.7×0.2+0.5×0.3×0.2

=0.03+0.12+0.07+0.03=0.25。

再來求M，N兩人，各能獲得選舉人票之期望值。

E(M獲得之選舉人票)

=0.28×45+0.07×25+0.12×30+0.28×35+0.12×20+0.07×15+0.03×10

=12.6+1.75+3.6+9.8+2.4+1.05+0.3=31.5；

E(N獲得之選舉人票)

=0.03×45+0.12×25+0.07×30+0.03×35+0.07×20+0.12×15+0.28×10

=1.35+3+2.1+1.05+1.4+1.8+2.8=13.5。

B州及C州，0.3與0.2的劣勢機率，加上A州N也只有一半的機會，使不少人以為，N很難贏了。另一方面，預期能獲得的選舉人票，N只有13.5張，比當選所需的23張，差了9.5張之多。更讓人覺得N的機會渺茫，M可躺著選了。

期望值其實並非一很恰當的名詞。“期望”也者，難免讓人誤以為那是較該得到的值。或者得到的值，應在期望值附近。投擲一公正的骰子，點數出現的期望值為3.5，但無論怎麼投擲，也絕不會出現3.5。買樂透彩，期望所得是很小的，但若中頭獎，將有高額獎金，實際所得可以遠遠大於期望值。因此不要被13.5所迷惑，N並非只能得到13.5張左右的選舉人票。另外，N有0.25的機率選上總統。而機率0.25的事件，並無不可能發生的涵義。看到氣象局預測降雨機率為0.25，你判斷不會下雨，遂不帶傘，結果淋了一身雨。懊惱歸懊惱，能因此就指責氣象局的預測很離譜嗎？氣象局何時說降雨機率0.25就是不下雨？要知這樣的降雨機率，平均每4天，就會有1天下雨。

現在來看538網站對當選機率之預測。由表3知，柯林頓是0.714，川普則有0.286。川普雖未被看好，當選機率卻並未小到大勢已去的地步。結果川普贏了，不過就是一正常的隨機現象，能因此怪統計騙人嗎？能因此哀嘆數據已死嗎？

再以另一方式，來看獲勝機率。再度，先考慮一簡單的例子。假設A君持一正面出現機率為0.88的銅板。投擲56次(並不必假設各次的結果為獨立)。雖正面的出現，極具優勢，但會預期56次皆得正面嗎？顯然不至於這麼沒概念。由於投擲一正面出現機率為p的銅板1次，正面出現數之期望值為p(可直接去計算，或利用伯努力分佈(Bernoulli distribution)的性質)，所以投擲出現正面機率為0.88的銅板56次，共出現正面數的期望值為56×0.88=49.28。即預期出現49個左右的正面，而不是正面該儘量多出現，才認為統計可靠。若真的出現56個正面，反該懷疑那0.88的機率有問題。當然各位大約也了解，正面出現的次數，若為47，48，50，51等，即環繞49附近，亦都相當合理。

其次考慮較一般的情況。假設有56個銅板，正面出現的機率不盡相同。今各投擲1次(仍不必假設各次的結果獨立)，由於期望值有線性性質，因此將各銅板正面出現的機率相加，便是共得的正面數之期望值。

50個州、哥倫比亞特區、緬因州2個選區，及內布拉斯加3個選區，美國總統大選時，可視為共有56個採贏者全拿的州(區)。欲估計總統候選人所得的選舉人票，便要對56個州(區)，皆估計獲勝機率。表4便是538網站的預測。雖候選人有多組，但因採贏者全拿，使得只有柯林頓與川普兩位遙遙領先者，才有當選的可能。我們想回答一個令人感興趣的問題。州(區)預測獲勝機率較大的候選人，確實也在該州(區)贏，這種州(區)數的期望值為何？此本質上正是前述投擲銅板的問題。對56個州(區)，將預測獲勝機率較大的那位候選人(柯林頓或川普)，視為銅板正面。要知所謂正面反面，不過有如名字，不同的銅板，指定那一面為正並無妨。如此一來，問每州(區)預測獲勝機率較大者是否獲勝，便有如問投擲一銅板正面是否出現。而要知道共有幾個州(區)，由預測獲勝機率較大的候選人當選，便相當於求投擲56個銅板，共得的正面數。將表4中56個州(區)，各取較大的預測獲勝機率，全部相加，得總和49.35。其中為了簡便，機率大於0.999者，以1計，機率小於0.001者，則以0計。即得由538網站的預測，預期(期望)有49.35個州(區)，由獲勝機率較大的候選人，贏得該州(區)。實際吻合幾個？50個！這還能說不準嗎？還能不信統計嗎？

若某州(區)預測獲勝機率較大者落敗，我們不妨從俗稱之為“逆轉”州(區)。由表4知，56個州(區)中，共有6個“逆轉”州(區)。表5給出538網站，在那6個逆轉州(區)，對柯林頓及川普，所預測之得票率，實際得票率亦附上以為比較。6個逆轉州(區)，得票率預測領先的都是柯林頓，分別領先0.6%、0.3%、4.2%、0.7%、3.7%，及5.3%。我們知道做民調時，抽樣誤差常預定為3%。最後的誤差則與樣本數有關，但總在3%左右。因此兩候選人支持率的差異，用民調的術語講，乃在誤差範圍內。換句話說，柯林頓在共有91張選舉人票，那6個逆轉州(區)裡，預測領先的幅度，並未大到夠安全。

回過頭來看川普，他在6個逆轉州(區)的實際得票率，分別高出柯林頓1.20%、10.47%、0.23%、3.66%、0.73%，及0.75%。這些差距，除了緬因州第2選區(只有1張選舉人票，影響很小)的10.47%較大，及北卡羅來納州的3.66%不算太小外，其餘在佛羅里達(Florida)、密西根、賓夕法尼亞(Pennsylvania)，及威斯康辛(Wisconsin)等4州，差距分別是1.20%、0.23%、0.73%，及0.75%，都相當小。只要些微的波動，輸贏便可能換人。這4州，共有75張選舉人票。若少掉這75票，川普便只有231票，如此表1所給選舉人票之預測，誤差就很小了，而川普也將黯然神傷地落選。能這麼驚險的逆轉這4州，說川普運氣好，應不為過。

其實，還不必4州全輸掉，因川普得到的選舉人票，比當選所需的270票，多出36票，故佛羅里達州與密西根州(共45票)、佛羅里達州與賓夕法尼亞州(共49票)、佛羅里達州與威斯康辛州(共39票)，或密西根州、賓夕法尼亞州，與威斯康辛州(共46票)，只要在上述任一組州輸掉，則“時代”雜誌2016年選出的風雲人物，便將是柯林頓，而不是川普了。

事實上，我們早說過了，若真見到次次正確預測銅板那一面朝上的人，人們恐怕不但不信他，反而懷疑其中有假。所以如何能對這麼複雜的選舉，要求處處精準預測？

這是一雙方實力接近的總統大選，贏者全拿制，造成正確預測誰當選的困難。若如一般選舉，依得票率的高低，以決定誰當選，則538網站便有近乎完美的預測。由表2，預測柯林頓的得票率為48.5%，領先川普的44.9%，實際果然柯林頓的得票率較高。而且柯林頓的實際得票率為48.07%，比預測值僅略少0.43%;川普的實際得票率為45.99%，比預測值不過高出1.09%。這樣的誤差，在選舉預測裡，算是高度準確了。只要想，從一袋中，以隨機取球來估計紅球所佔比例。兩次試驗所得比例之差異，若只有1.09%，不會很滿意嗎？差異若小至0.43%，難道不驚嘆不已嗎？那更不要說是民調了。

像538網站的預測，準確中夾著些微的誤差，算是將統計的功能徹底發揮。只要了解隨機性，只要知道誤差難免，將對統計更加服氣。