3 百分位數的應用

“九年課綱”中強調：

百分位數通常用於分析總次數多的資料，避免在資料數少的例子中，做百分位數的教學。

這可以理解，當資料數過少，百分位數便的確不太能發揮作用。例如，假設有數據1，2，…，10。則依“十二年課綱”，可得P₁=…=P₉=1，P₁₀=1，2；P₁₁=P₁₂=…=P₁₉=2，P₂₀=2，3；…；P₉₁=P₉₂=…=P₁₀₀=10。若再依“補充說明”的第二點，可得P₁₀=1.5，…，P₉₀=9.5。1至10，每個數同時為9或10個百分位數。這時百分位數，對了解每一資料，在全體中的相對位置，並無太大幫助。再看一例。假設有一筆數據，先是30,000個1，接著是30,000個2，然後3，4，…，10，各有5,000個，總共有100,000筆資料，資料數不少。結果P₁=…=P₂₉=1，P₃₀=1，2，或者取P₃₀=1.5；其他百分位數亦不難得到，就讓各位自行完成。看似資料數有10萬之多，因重覆之故，實際相異的資料數只有10。於是1至10，每個數仍同時為多個百分位數。“大學入學考試中心”(簡稱“大考中心”)，每年負責統籌舉辦的“大學學科能力測驗”(簡稱學測)，各科考生，都有好幾萬人，因此百分位數，可在其中運用自如？

之前我們指出，百分位數這種題材，並不適合出現在中小學數學裡。只是與高中生關係密切的學測裡，也用到百分位數，有人可能因此會說，所以中學生還是該懂得百分位數。百分位數為何會出現在學測裡？

台灣有學測，始自民國83年開始實施“大學多元入學新方案”，至今已有不短的歷史。其中細節，二十餘年來，曾經數度修正。高中生想進大學，學測成績相當關鍵。學測共有國文、英文、數學、社會及自然等5科。每科原始滿分依序是108、100、100、144，及128。其中有3科的原始滿分，都不是常見的100，似乎是各科專家深思熟慮後所產生。但沒有用，因後來“大考中心”會將考生的各科成績，皆轉換成0至15的“級分”(83學年度只有10級分)。何以要全換算成15級分制？“大考中心”的說法是，“為了不要讓考生為了0.1分的差距而計較”。這理由很可笑，原始成績若只少0.1分，並沒什麼大差別。如今卻可能差了很顯著的1級分。

級分如何得出？各科取前1%考生成績的平均，不妨以a表之，將a除以15，a/15即為各級分之級距。原始成績至少有a的，為15級分；低於a，但至少有14a/15的，為14級分，餘類推，至於成績低於a/15的，則為0級分。由於科目之別，再加上不同年度題目難易之差，成績散布之變異可能很大。導致科目或年度不同，級分無法相比。所以不能問12級分算好還是不好？如果各科級分是由高至低，依到考人數等分，則各科即使不同年度，同一級分所反映考生的表現優劣，便較接近。

自91學年度起，學測除了級分外，各科及總級分，又都依到考人數之百分位數，訂出頂標、前標、均標、後標，及底標等5項標準，此即所謂5標。學測成績，能用在諸如個人申請等，進入大學的管道。各大學校系在第一階段篩選時，可對學測的總級分，及各科級分，依5標訂出檢定標準，做為篩選門檻。在此頂標乃成績位於第88百分位數之考生級分，前標乃成績位於第75百分位數之考生級分，均標乃成績位於第50百分位數之考生級分，後標乃成績位於第25百分位數之考生級分，底標乃成績位於第12百分位數之考生級分。級分是按分數切割，5標則是按人數切割。忽而分數忽而人數，這套制度設計的邏輯，頗令人難以理解。各科5標雖依相同的百分位數，但由於已先經級分的扭曲原始成績，不同科目的同一標，並無法相比。

前面看到資料數少時，一數可能同時為好幾個百分位數，會弄得不清不楚。學測考生那麼多，應不會有這個問題吧！這樣想就錯了。考生雖多，可惜成績轉換成15級分，連同0級分，相當於一筆資料數只有16的數據。就像我們之前所舉，那一資料數有10萬之例，每1級分，將可能同時為好幾個百分位數。換句話說，學測忽略百分位數該避免用於資料數少的原則，貿然使用。遂造成頂不見得是頂，前不見得是前，均也不見得是均。

學測的5標如何求出？“大考中心”在學測的簡章中有說明。假設某科到考生為161,567人，分別乘上5標對應的百分比，然後取整數，小數部分無條件進位。即得

161,567×0.88=142,178.96→142,179，

161,567×0.75=121,175.25→121,176，

161,567×0.50=80783.5→80,784，

161,567×0.25=40391.75→40,392，

161,567×0.12=19388.04→19,389。

將考生成績，由低至高排序後，從最低分往上數之第142,179位到考生的級分，便為頂標，餘類推。此與依“十二年課綱”中的定義，所求出的百分位數，有何不同？如果是數據1，2，…，161,567，則滿足小於或等於P₈₈的資料，至少佔88%，大於或等於P₈₈的資料，至少佔12%，唯一只有142,179。同理121,176為唯一的P₇₅，餘類推。即在二定義下，所得的5標均相同。既然如此，“十二年課綱”中的百分位數為，何不採學測上的定義就好？事實上，由兩種定義所得之百分位數，並不永遠一致。舉個例子來看。對於數據1，2，…，100，依學測的定義，得第10百分位數為10，…，第90百分位數為90；但依“十二年課綱”上的定義，得P₁₀=10，11，或取P₁₀=10.5；…；P₉₀=90，91，或取P₉₀=90.5。

各科的級分，是按原始成績等分(以15級分為頂)。而基於考題的難易程度，全部考生的原始成績，有不同的集中情況。因此即使同一科，各級分考生數所佔的百分比，可能相差很大。本來每一級分的考生數，平均約有6%多。但以104學年度的國文科為例，12級分的考生數最多，約占19.04%；而由10至13，這4級分的考生數，便約佔63.46%；至於1級分的考生數才約佔0.02%，0級分的考生數才約佔0.003%。國文科考生集中在某幾個級分的情況，並非僅發生在104學年度。不妨來看105學年度。考生數最多的是11級分，約佔16.62%，由9至12，這4級分的考生數，共約佔58.77%，而1與0級分的考生數，仍差不多佔0%。個人申請入學，於第一階段篩選時，各大學校系可對學測的總級分及各科級分，擇其中若干，依5標訂出檢定標準，做為篩選門檻。以國立臺灣大學數學系為例，該系訂出的門檻為，國文均標、英文均標、數學均標、社會後標，及自然均標。“大考中心”規定，於訂門檻時，所能依據的，並非考生的原始成績或級分，而是總級分與各科級分的5標。5標既然在篩選過程中，扮演重要的角色，因此“大考中心”提供之5標，所代表的意義，應該要很明確才行。只是並非如此。

如前所述，頂標、前標、均標、後標，及底標等5標，乃分別依到考生之第88、75、50、25、12等百分位數之級分而定。看到這裡，不少人腦海中可能浮現12、25、50、75，及88等百分比，分別為達到各標的考生數之百分比。可惜“大考中心”並無此邏輯。仍以104學年度的國文科為例。表1給出級分人數百分比累計，其中顯示到考人數為144,250。

144,250×0.88=126,940，

144,250×0.75=108,187.5→108,188，

144,250×0.50=72,125，

144,250×0.25=36,062.5→36,063，

144,250×0.12=17,310。

從最低分往上數之第126,940、108,188、72,125、36,063，及17,310位到考生的級分，分別為頂標、前標、均標、後標，及底標。由表1，即得分別13、13、11、10，及8級分。頂標與前標，居然同為13級分！某大學中文系，每年在訂申請入學各科的篩選門檻時，斟酌再三。少子化導致報考人數年年下降，先得預測今年申請本系的人數，然後決定國文科該訂什麼標，頂標或前標，究竟怎樣訂，對本系最有利？討論了很久。結果看到“大考中心”公布的成績統計後，發現白費功夫了，今年國文科的頂標及前標，二標沒有差別。怎會這樣？

我們已指出，各科的原始成績只是過客，皆被“大考中心”轉換成級分。由於各科的級分，總共才16筆相異資料，而對一筆資料數不多的數據，一數可能同時為好幾個百分位數。“大考中心”看似經過精心規劃，所產生的百分比：88、75、50、25，及12，最後完全不是那麼一回事。這說來並不奇怪。先看頂標，由表1，國文科成績位於第88百分位數，即由最低分往上數起，第120,964位到考生，其級分為13。但與該考生，同為第88百分位數的考生，共有23,824位。而13級分以上(即13、14、15級分)的考生，共約佔28.50%。達到頂標的考生，不是該僅佔12%，如今卻佔了超過4分之1！因此國文科13級分，只能算是考在前面，怎麼會是什麼“頂級的標準”？

再從另一方式來看。由表1，國文科14及15級分，共約佔11.98%，未達12%。雖才差約0.02%，但按其算法，要往下降1級分。但13級分的考生有16.52%。以0.02%換16.52%，這樣一來，達到頂標的考生，不但遠超過12%，甚至超過前標的下界25%，有28.50%。於是頂標與前標，便同一級分了！我們來看，由表1，成績位於第75百分位數，即由最低分往上數起，第108,188位到考生，其級分正是13。表2給出，104學年度學測各科及總級分，5標的級分，及達到的考生，所佔之百分比。達到及設定的百分比，有些的確差異很大。仍看國文科。不只頂標考生佔的百分比超多，達到均標的考生，有63.81%，比設定的50%，高出13.81%之多。這都是因級分數太少之故，或者說將原始成績轉換成級分之故。

不同標卻同一級分，除104學年度國文科外，尚有96學年度的國文科，及92學年度的社會科。3次皆是頂標與前標同為13級分。當資料數少時，百分位數在教學上，該避免拿來做為例子。這點即使課綱沒提醒，也應是常識。連當例子都不適合，何況在攸關全國高中生進大學的比序，資料數才16而已，怎宜引進百分位數？“大考中心”的專家沒學過百分位數嗎？當然不至於。只是如果連他們學了都沒用，中學生學了又何用？

人們常講大數據，以為一旦有大數據，一切大小問題，均可迎刃而解。如今明明是小數據，卻視為大數據，然後隨興揮舞百分位數。若缺乏數據素養，真有大數據，豈有大用？不過暴殄天物而已。

比起眾多深奧的統計方法，百分位數縱有不同的定義，但概念皆屬淺顯，理解不難。實際應用時，要切記這是有關數據分析，而非在做算術練習，只管求值即可。百分位數是統計，統計不可數學化。若只在乎數學，將難培養出統計素養。

有關百分位數進一步的參考資料，可見黃文璋(2014)及黃文璋(2015a，b)三文。

參考文獻

1. 黃文璋(2014)。PR值與百分位數。黃家小館(http://www.stat.nuk.edu.tw/huangwj)

2. 黃文璋(2015a)。數據素養。黃家小館(http://www.stat.nuk.edu.tw/huangwj)

3. 黃文璋(2015b)。談中位數。科學人。164期(2015年10月號)：32。

註. 各級分括號中之百分比，為達到該級分之累積考生所占百分比。