4 取樣

“不確定性與數據”為國民4大數學素養之一。其中“不確定性”一詞，以“隨機性”取代，或許較恰當些。因一般說到不確定性，常有點負面的意思。如政治裡向來就有各種大小的風險存在，對不確定性的存在，本不該感到訝異。但2017年1月10日，經濟日報有一則報導：

英國準備脫離歐盟，美國新政府的貿易政策可能衝擊中美關係，政治不確定性引發市場避險需求，帶動黃金價格五個交易日來第四次上漲。…。

顯示不確定性讓人排斥。再給一例。橋本忍(1918-)是日本著名的電影編劇家，長期與大導演黑澤明(1910-1998)合作，兩人共同完成不少好作品。在他(2006)一書中，談論多部黑澤明拍攝的電影。如同一流球員，再怎麼了不起的導演，也有失手的時候。在此書便提到：

“生者的紀錄＂(1955)的失敗，是因為劇本是帶有未知數與不確定性的原創故事，…。

將拍片失敗，歸罪於劇本裡有未知數與不確定性。在黃文璋(2014)一文，尚舉了一些不確定性，讓人不喜，避之唯恐不及的例子。

處在此隨機世界裡，隨機性導致不確定，而在不確定性下，自然有很多事屬未知。事實上，雖說隨機，仍會遵循某些法則，並非完全不可預期。因此，與其擔心不確定性，不如去了解隨機法則，並設法做出較佳的決策。而就像製磚不能沒有黏土，欲有好的決策，數據常是不能少的。分析數據，從中挖掘出一些可掌握的資訊，以讓不確定性裡，不都那麼不確定。這是何以數學素養裡，不確定性要與數據結合在一起。

高中數學自“九五暫綱”(民國九十五年開始實施的高中數學課綱)，引進“信賴區間與信心水準的解讀”。為什麼高中生要學信賴區間？媒體上，經常有關於民調的報導，其中往往附有信賴區間，信賴區間儼然是國民該具備的統計素養，遂堂而皇之地進入高中數學。對某議題，光給樣本顯示的支持率還不夠，不同族群的看法如何？於是民調裡常會做的“交叉分析”，也就跟著進入高中數學。至於主要為量測二變數間的線性關係之強弱及正負的“相關係數”，也被高中數學招手進入了。可以這麼說，自“九五暫綱”起，以數學家為主的課綱委員，覺得高中生該多懂些統計，遂增加高中數學裡的統計分量。其後“九九課綱”中，取消交叉分析，“十二年課綱”中，則連信賴區間也取消了。十年來，信賴區間給高中師生帶來的困擾，掀起的爭議，即將煙消雲散。只是信賴區間真有那麼難學？

在金庸(1924-)“鹿鼎記”(1972)一書的第二十二回，對少林寺武功一竅不通的韋小寶，要澄觀教他一指禪。澄觀是少林寺般若堂的首座，武學所知之博，被寺中群僧，推為當世第一。澄觀說：

咱們少林派武功循序漸進，入門之後先學少林長拳，熟習之後，再學羅漢拳，然後學伏虎拳，內功外功有相當根柢了，可以學韋陀掌。

預備功夫可真多。還沒完，韋陀掌後，依序是散花掌、波羅蜜手、金剛神掌、拈花擒拿手、般若掌、易筋經，待這些都練熟了後，才能學一指禪。澄觀自稱練了42年，才略窺門徑，在少林寺千餘年來，名列第三。最快的那位，花了36年，次快者則花了39年。

高中數學裡的信賴區間，乃一綜合性的統計題材，其中包含好幾個統計主題，至少有取樣、估計，及極限；涉及的分佈有二項、超幾何，及常態；包含的概念有隨機性、機率的意義，及條件機率。信賴區間若能弄懂，表示統計已有相當基礎了。一般在大學統計學的教科書裡，信賴區間通常置於全書的後半部。而交叉分析出現時，全書可能已到尾聲了。又由於要用到近似，需要藉助中央極限定理，或者僅是較簡單的版本，即二項分佈的常態近似。但此機率裡相當重要的極限定理，即使是初步的版本，都沒太多大學數學系的畢業生，能講得清楚明白。雖在大學統計課程裡，於足夠的鋪陳後，才會引出信賴區間。而就算這樣，大學生對信賴區間的涵義，仍不過一知半解而已。如今企圖在高中數學很少的篇幅中，講授信賴區間、中央極限定理及交叉分析，彷彿想在短時間內，教會韋小寶一指禪，師生皆備嘗辛苦，乃是必然。

先看取樣。人們常在取樣，樣本如何取得？該不該出來參選系學會會長？難以決定。問問幾個朋友的意見，被問的人，就是你取的樣。在眾人皆鼓勵下，信心大增，於是報名參選，不料以慘敗收場。想去某家餐廳，評價如何？上網看看。好評不少，去後卻大失所望。後來想通了，這種平價餐廳，顧客及會上網寫評論者，皆以年輕人居多。年輕人的愛好，自然跟你這位老先生不太一樣。如吃飯或看電影，有些事無關緊要，可就近取得一些意見。但有時若隨意取樣，且依據做決策，則懊惱的機會將不少。輕者貽笑大方，重者損失不小。

底下來看一道統計試題。104學年的學測，數學科有如下一多選題：

小明參加某次路跑10公里組的比賽，下表為小明手錶所記錄之各公里的完成時間、平均心率及步數：

在這10公里的比賽過程，請依上述數據，選出正確選項。

(1)由每公里的平均心率得知小明最高心率為188。

(2)小明此次路跑，每步距離的平均小於1公尺。

(3)每公里完成時間和每公里平均心率的相關係數為正相關。

(4)每公里步數和每公里平均心率的相關係數為正相關。

(5)每公里完成時間和每公里步數的相關係數為負相關。

答案是(2)、(4)、(5)。“大考中心”很客氣，說所提供的僅是“參考答案”，而非“標準答案”。

首先，來檢視一下5個選項的敘述。題目中的數據，都是關於小明在某次路跑賽裡的資料，所以也只能得到有關小明在此次路跑的推論。但選項(1)及(2)，是問小明如何，選項(3)、(4)及(5)，卻皆未提到“小明”，兩相對照，會讓人以為(3)、(4)及(5)，是針對一般人的體能提問，這是疏失。另外，選項(2)裡，於“小明”之後，有“此次路跑”4字，選項(1)、(3)、(4)及(5)裡則沒有，再度，會讓人以為是針對一般情況提問，而不僅是此次路跑。所以，若依現有題目之敘述，有學生遵循邏輯，謹慎地未選(1)、(3)、(4)及(5)，應該算是對的。命題者對題目之敘述，似不夠謹慎。

再給一文字方面的問題。兩個隨機變數，才有所謂正相關、負相關，或無相關可言。至於相關係數，不過是一數字，可能為正、負或0。因此在選項(3)、(4)及(5)裡，問相關係數是否為正相關(或負相關)，並不太通。宜問相關係數是否為正(或負)。

有人可能好奇，選項(4)(或(5))的敘述，可否改為“每公里步數和每公里平均心率為正相關(或負相關)”？即刪除“的相關係數”5字。若這樣改，題目敘述便無瑕疵。但這只是一次路跑的數據，若小明再跑一次，或繼續跑10公里，可能得到完全迥異的數據，因而計算出之相關係數，連正負說不定都會反過來。這有如題目若先說“投擲一銅板10次，得到5個正面”，則“銅板出現正面的機率為0.5”之選項，便不該選。因此實際上“每公里步數”，與“每公里平均心率”，此二變數是否為正相關，並無法由小明跑10公里後，產生的數據得知。所以，一旦敘述如上修改，則選項(4)便不正確。但既然參考答案中有(4)，表示命題者認為選項(4)是可判定為正確的，因此敘述便不可如此修改。至於選項(3)，由於未列進大考中心提供的參考答案中，因此若要刪除“的相關係數”那5字，自然是可以的。

在學測如此大型的考試，命題者對文字的陳述隨意，尚非本題最關鍵的缺失。要知就算題目寫得不清不楚，也大致能猜出命題者的意思，這是我們的中學生，早就被訓練出來的本領。假設某人想觀察自己體重的變化，每天記錄。能否想到該注意些什麼？須在相同的情況下記錄。例如，每天皆在剛起床時量，這樣比較能相比。即使如此，每天起床時間可能有差，或前晚因應酬吃喝較多，就算採取剛起床時量測，恐怕也不敢宣稱，確實做到每天在相同的情況下記錄，但至少已儘量了。如今題目一開始便敘明，小明是參加比賽。而眾所皆知，比賽有競爭，跑者大抵會依自己體能去配速。甚至，人非汽車，連續跑10公里，並不易維持每1公里的狀況都相同。因此，少有以這種方式，收集個人的數據。若每天在差不多同一時間跑1公里，量測3項數據，連跑10天，再分析所得的數據，還較合理些。無論如何，用一個人自身的幾個變數，來考慮相關係數，意義並不太大。如應力與應變有線性關係，此為力學裡的虎克定律(Hooke's law)。小明個人的那些變數，甚至可能並不隨機，彼此之間，也可能僅有函數關係。

資料的收集，是從事統計工作，一很重要的步驟。惟有秉持很嚴謹的態度，取得的數據，方能準確客觀，因而得到的推論，才較具參考價值。就如醫學上，一種新藥，或新技術，其效果如何？需找人做實驗，也非徵求自願，來者不拒。不但要謹慎挑選受測樣本，且過程有一定規範，如須雙盲實驗。對某政治議題，進行一項民調，也並非就站在商區街頭，任意找願意受訪者填寫問卷，或拿起電話便撥。取樣須很謹慎。

最後，對於上述那道考題，是否可假設小明每一公里，都維持相同的狀態？如果做這樣的假設，則那便是數學而非統計題目了。總之，考試畢竟引導學習，高中生若常接觸這類題目，將難具備統計素養。

參考文獻

1. 黃文璋(2014)。談不確定性。黃家小館(http://www.stat.nuk.edu.tw/huangwj)

2. 橋本忍(2006)。複眼的映像─我與黑澤明(張秋明譯)。大家出版社，新北市。