5 估計

2017年1月12日，聯合報有則標題是“到底幾歲？ 月球比原先以為的更高齡”之報導：

根據1971年阿波羅14號太空船採集到的岩石和土壤，最新估算出來的月亮年紀，比先前許多科學家設想的更大：已高齡45.1億歲。

洛杉磯加州大學(UCLA)的研究團隊11日表示，月球在太陽系生成後的6千萬年間形成。先前的估算落在太陽系出現後1億年間，最晚的是2億年。…。月球由地球被碰撞後的殘留碎片所形成，科學家估算地球約45.4億歲。巴邦尼說，她正在研究更多來自阿波羅14號樣本的鋯石，但不認為會改變她的估算─月球約45.1億歲，最多45.2億歲。他們的報告11日刊登在“科學進展＂期刊上。

由一些石頭及土，便能對距地球約38萬公里外的月球，估計其年齡，相當厲害。將之前的估計，月球形成於約45億年前，修訂成45.1億年，也就是肯定早先估計的45億年是可靠的，只少了0.1億年。此報導除顯示，估計難免有誤差外，亦可得知，什麼都可拿來估計，包括太空裡星球的年齡。

棒球比賽，緊要關頭，站上打擊位置的球員，會不會成為致勝功臣？他打出安打的機率約為0.22，機會看來不是很大。0.22是如何得到的？由該球員之前的打擊率來估計。看起來合理，機率裡稱此為頻率的觀點。若有人覺得該球員近況很好，過去1個月，平均打擊率有0.43，因此估計他這次擊出安打的機率為0.43，亦無不可。有人出門前，估計今天下雨的機率為0.8。如何得到？看看天色，腦海中就出現0.8這個數字。喔！這是主觀的觀點。只是同樣的天色，不同的人，估計出的下雨機率，可差異很大。路上塞車，這班高鐵趕得上嗎？這支股票會漲嗎？這西瓜甜嗎？生活上人們經常在估計。估計的確該是國民基本的統計素養。無關緊要的事，憑一些現有資料，用些簡單的統計，便能做出估計。有時就要妥善規畫一套估計的程序，以減小誤差。

不但可以有不同的估計法，面對一樣的資料，也可有不同的推論。在黃文璋(2011a)一文裡，我們提到“事實至於遺存，推論敬俟卓識＂，這是考古學家郭寶鈞(1893-1971)所說的，他曾參與多次殷墟挖掘。統計與考古，本質上很類似。考古有物而無言，挖掘固然困難，但目的是給出推論，為古物說故事。統計裡數據取得不易，而一旦蒐集到，數據並未說話，整理分析後，由人負責說話，給出推論。至於那一推論較佳？這便難說了。自一有紅球及白球的袋子中，依序取20球，每次取出後皆放回，結果19次得白球1次得紅球。雖取出之白球比率遠高於紅球，有人仍認為下次取，將會得紅球。頑固嗎？說不定真的取出紅球。對隨機現象的估計或推論，不是以一次準不準，來分高下。得給出評比的準則，才能定下各估計法或推論法之優劣。

前面提到的皆是所謂點估計，即以一值，來估計一未知的量。某日小明考完數學，媽媽問考得如何？大約8、90吧！有幾成把握？9成。這是典型母子間的對話。由於不太確定閱卷標準，對成績的估計，常不會只給個值，而給個範圍，並附上信心大小。對一隨機現象，估計值並不易精準命中真實值。於是除點估計外，發展出以一區間來估計一未知的量，並附上該量會落在此區間之機率。其中的區間，稱為信賴區間，伴隨的機率，則稱為信心水準。在前述小明的成績估計裡，信賴區間即[80,90]，信心水準則為90%。

有幾個問題立即會浮現。首先，信賴區間唯一嗎？在估計一未知量時，若採區間估計，常是先給定信心水準，然後求出信賴區間，使該區間涵蓋未知量之機率，如事先所設定的信心水準。信心水準一般以百分比表示，95%及90%等，皆是常取的信心水準。對一固定的信心水準，信賴區間往往並不唯一，通常採取區間長度較短的。區間的長度愈短，表估計愈精準。其次，信心水準是什麼意思？95%是代表機率嗎？取樣前信賴區間是一隨機區間，說有95%的機率，包含待估計的參數，這點沒有疑義。取樣後則得一常數區間，此區間要嘛包含參數，要嘛不包含，如何說包含的機率是95%？之前在高中數學裡，師生較不常去想機率究竟是什麼。但自引進信賴區間後，不少人連機率的意義，也開始感到疑惑了。事實上，只要是未知便能談機率。正如考前教師早已出好題了，學生仍可猜題，說這題考的機率有8成，那題不可能考。既然取樣後所得的常數區間，可以對它談機率，則利用主觀機率，將信心水準，視為該區間包含參數的機率，乃再自然不過。

我們說過大學生對信賴區間的涵義，僅一知半解。那何以少聞在大學統計學的課程裡，對信賴區間之學習有何困難？考試引導教學，我們不妨來看一下高中數學裡，信賴區間都考些什麼？

底下為98學年，學測數學的一道多選題：

某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比(以下簡稱為“知名度”)。結果如下：在95%信心水準之下，該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分別為[0.50,0.58]、[0.08,0.16]。試問下列哪些選項是正確的？

(1) 甲地本次的參訪者中，54%的人聽過該產品。

(2) 此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數。

(3) 此次調查結果可解讀為：甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於95%。

(4) 若在乙地以同樣方式進行多次民調，所得知名度有95%的機會落在區間[0.08,0.16]。

(5) 經密集廣告宣傳後，在乙地再次進行民調，並增加參訪人數達原人數的四倍，則在95%信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半(即0.04)。

“大考中心＂公佈的答案為(1)、(2)。

(3)不在答案裡，此很值得斟酌。我們已說了“推論敬俟卓識＂，但誰又是卓識？依其理念之不同，統計裡可有各種推論，及各種解讀。被視為一意孤行者，還可能自以為擇善固執呢！數學裡就不行，有一套邏輯，不可胡亂推論，隨意解讀。選項(3)既然問此次調查結果可否“解讀”為…，光憑問句中的“解讀”二字，此選項就可判定為正確。何況題目裡說，“在95%信心水準之下，該產品在甲地的知名度之信賴區間為[0.50,0.58]”。如前指出，採主觀機率，先將題意解讀為知名度有95%的機率，落在區間為[0.50,0.58]。由此得知名度有大於95%的機率是一半以上，因知名度落在[0.50,0.58]，都已有95%的機率了。再繼續解讀為“甲地全體居民中，有一半以上的人聽過該產品的機率大於95%”，不正是依民調結果，一連串合理的推論嗎？

2017年1月11日，大陸遼寧艦(即遼寧號航空母艦)，從海南島返回青島駐地的途中，穿越台灣海峽，引起多方的重視。有人認為是繼1996年大陸試射飛彈以來，對台灣最具挑釁意味的軍事行動；也有人指出，遼寧艦事實上還不具備完整戰力，但穿越台海在台灣內部引發的討論，已經達到中共宣傳戰設定的目標；有人則相信這不過是大陸一個例行性的軍事演習，不必太在意。對此事件，學者專家各有其解讀，只是真相並不易大白。要知解讀與推論，可以相當主觀，很難判定何者正確。因此考題若以“可解讀為…”，或“可得推論…”，的形式提問，往往缺乏統計的味道。

再來看99學年學測數學的一道多選題：

想要了解台灣的公民對某議題支持的程度所作的抽樣調查，依性別區分，所得結果如下表：

請問從此次抽樣結果可以得到下列哪些推論？

(1) 全台灣男性公民贊成此議題的比例大於女性公民贊成此議題的比例。

(2) 在95%的信心水準之下，全台灣女性公民贊成此議題之比例的信賴區間為[0.48,0.56](計算到小數點後第二位，以下四捨五入)。

(3) 此次抽樣的女性公民數少於男性公民數。

(4) 如果不區分性別，此次抽樣贊成此議題的比例p^介於0.52與0.59之間。

(5) 如果不區分性別，此次抽樣p^的標準[p^(1-p^)/n]^1/2差介於0.02與0.04之間。

“大考中心”公佈的答案為(2)、(4)。

選項(2)、(3)、(4)，及(5)，乃考是否熟悉課本上所給信賴區間的公式。(3)、(4)，及(5)，甚至根本是在考數學。至於選項(1)，如前所述，統計考題裡並不適合問可以得什麼推論。不過由所給答案，我們來推敲命題者的用意。調查結果，男性及女性之贊成比例，其95%信賴區間，分別約為[0.51,0.67]，[0.48,0.56]。由於兩區間有重疊，猜想這可能是(1)不被命題者視為正確選項的原因。但比較二未知比例的大小，並不一定得依靠信賴區間。若採點估計，因0.59>0.52，由此得到(1)之推論不行嗎？即使採信賴區間來相比，非得取95%？採68%不行嗎？而若採68%，則男女贊成比例之信賴區間，便各約為[0.55,0.63]及[0.50,0.54]，不再重疊了。在統計裡，可有各種推論法，且常無那一推論法永遠最佳，只能依不同的標準評比。

在黃文璋(2011b)一文，將98至101學年，學測數學，及指考數學甲、數學乙，4年間共12份試題，挑出機率與統計方面，值得商榷的題目來討論。在該文的結論裡，寫著：

…。看來信賴區間快沒題目可考了。…。現今大學入學考，不論學測或指考的數學科，機率統計的考題，有時像在考三民主義，思想要很制式，才易得高分。…。

本來估計的教學，就宜以估計為主要目的。想以區間來估計，便該求出信賴區間。大學的統計課裡，在信賴區間那章，有各種分佈，及期望值、標準差，還有它們的函數等，有好幾個參數可估計。於不同的情況下，探討如何求得信賴區間。由於包含的內容不少，因此進度慢不下來，學生匆匆忙忙學習，囫圇吞棗，根本無暇去思考信賴區間的內涵。這是何以多年來，大學信賴區間的教學，少見困擾的主因。並非學生皆能融會貫通，而是問題沒有浮現。但在高中數學裡，就只針對二項分佈B(n,p)，要求參數p的信賴區間。以常態分佈來近似，且信心水準設定為95%。內容少，因而求信賴區間的題目，便缺乏變化，加上計算又容易，於是倒過來，先給出信賴區間，然後來“解剖”該區間，前述那些類型的考題遂產生了。即使在大學教了多年統計學的教授，面對這樣的多選題，都會傻眼。他們何時出過如此型式的考題？學測或指考裡的信賴區間考題，有些教授硬著頭皮去做答，卻不乏5個選項中，錯了好幾個的。雖然這樣，但翻來覆去，畢竟就只有那幾套題型，久後便被高中師生破解，知道命題者想要的答案。“思想”要正確才易答對，那不就像在考三民主義嗎？也因如此，我們才認為快沒題目可考了。事實上，從102至105學年，4年間的學測及指考，除了102學年指考的數學乙，有一道多選題的信賴區間外，便再無信賴區間的考題了。到這個地步，信賴區間是可移出高中了。

有關估計及信賴區間相關的文章，可參考黃文璋(2006、2007，及2014)三文。

參考文獻

1. 黃文璋(2006)。統計裡的信賴。數學傳播季刊，30(4)：48-61。

2. 黃文璋(2007)。統計裡的估計。數學傳播季刊，31(2)：3-20。

3. 黃文璋(2011a)。統計與考古。科學人，118期(2011年12月號)：33。

4. 黃文璋(2011b)。機率統計考題探討。黃家小館(http://www.stat.nuk.edu.tw/huangwj)

5. 黃文璋(2014)。談信賴區間。翰林數學天地，36期(2014年4月號)：7-10。