國立高雄大學統計學研究所
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主題:統計下凡(二十三)
發表者:黃文璋 Email:huangwj@nuk.edu.tw 日期:2021/11/14 下午 12:41:59

23 相關性之考題

底下來看兩道學測數學科裡涉及“相關性”之試題。第一道是104學年的多選題:

小明參加某次路跑10公里組的比賽,下表為小明手錶所記錄之各公里的完成時間、平均心率及步數:

完成時間

平均心率

步數

第一公里

500

161

990

第二公里

450

162

1000

第三公里

450

165

1005

第四公里

455

162

995

第五公里

440

171

1015

第六公里

441

170

1005

第七公里

435

173

1050

第八公里

435

181

1050

第九公里

440

171

1050

第十公里

434

188

1100

在這10公里的比賽過程,請依上述數據,選出正確選項。

(1)由每公里的平均心率得知小明最高心率為188

(2)小明此次路跑,每步距離的平均小於1公尺。

(3)每公里完成時間和每公里平均心率的相關係數為正相關。

(4)每公里步數和每公里平均心率的相關係數為正相關。

(5)每公里完成時間和每公里步數的相關係數為負相關。

“大考中心”提供的答案是(2)(4)(5)

先檢視5個選項的敘述。由於題目中的數據,都是關於小明在“某次”路跑賽裡的資料,所以也只能得到有關小明在該次路跑的推論。但選項(1)(2),是問小明如何,選項(3)(4)(5),卻皆未提到“小明”,兩相對照,會讓人以為(3)(4)(5),是針對一般人的體能提問,這是命題者之疏失。另外,在選項(2)裡,於“小明”之後,有“此次路跑”4字,選項(1)(3)(4)(5)裡則沒有,再度,會讓人以為選項(1)(3)(4)(5),是針對一般情況之提問,而不僅是有關小明此次路跑的這組樣本。所以,若依現有題目之敘述,有學生遵循邏輯,未選(1)(3)(4)(5),應該算是對的。所以5個選項裡,都該有“小明此次路跑”幾字才完整。雖是屬於注重邏輯的數學科,但命題者對題目之敘述,顯然相當不謹慎。

要知這只是一次路跑的數據,若小明再跑一次,或繼續跑10公里,將可能得到完全迥異的數據。因而所得之樣本相關係數,連正負號說不定都會反過來。這有如假設題目裡說“投擲一銅板10次,得到5個正面”,則若問“銅板出現正面的機率為0.5?”,便不該選,要選也是還諸如提問“可以0.5做為銅板出現正面機率之估計值嗎?”。也就是不論投擲多少次,得到的都只是銅板出現正面機率之估計值。那能辯解機率有不同的意義,這裡乃指主觀的解釋嗎?若是這樣,則有沒有選此選項,便都該給分了。事實上,依據此次實驗所計算出來的只是樣本之相關係數,可做為母體相關係數之估計值。至於母體之“每公里完成時間和每公里平均心率”,及“每公里步數”和“每公里平均心率”,是否為正相關或負相關,並無法由題目所給之小明跑10公里後的數據得知。

再給一文字方面的問題。兩個變數間,才有所謂正相關、負相關,或無相關可言。至於相關係數,不過是一個數字,可能為正、負或0。因此在選項(3)(4)(5)裡,問“相關係數是否為正相關(或負相關)”並不恰當,宜問相關係數是否為正(或負);或者 “的相關係數”5字全刪除。猜想命題者並不熟悉“相關係數”此一題材。

在學測如此大型的考試,命題者對文字的陳述顯得過於隨意,尚非本題最關鍵的缺失。要知就算題目寫得不清不楚,早已身經百戰的台灣中學生,大致能猜出命題者的意思。假設某人想觀察自己體重的變化,遂每天量測並記錄。能否想到該注意些什麼?有的!須儘量在相同的情況下量測。例如,每天皆在剛起床時量測,這樣才較能相比。即使如此,每天起床時間可能有差異,或有些日子前一晚因應酬吃喝較多,因而就算採取固定時間量測,恐怕也不敢宣稱,確實做到每天在相同的情況下記錄,但至少已儘量了。如今題目一開始便敘明,小明是參加比賽。而眾所皆知,比賽有競爭,跑者大抵會依自己體能去配速。甚至,人非汽車也非機器,連續跑10公里,豈能維持每1公里的狀況都相同?因此,少有以如題所述的方式,收集個人數據並做分析。若每天在差不多同一時間跑1公里,量測3項數據,連跑10天,再分析所得的數據,還較合理些。出這種考題,可說易教壞學生的統計概念。話說回來,僅以少少的10筆數據,便大做分析,也未免不像個統計分析。

資料收集為統計分析裡,一重要的步驟。惟有秉持很嚴謹的態度,如此取得的數據,方能準確客觀,而得到的推論,也才較具參考價值。就如醫學上,一種新藥或新技術,想知其效果如何,便需找人做實驗。但並非徵求自願,來者不拒。實務上,不僅須謹慎挑選受測樣本,且實驗過程須有一定規範。而對某議題進行一項民調,也並非就站在商區街頭,任意找願意受訪者填寫問卷,或拿起電話便撥,誰接便問誰,若沒人接就再打下一通。取樣須很嚴謹,才能得到有意義的結果。

最後,對於上述考題,可否“假設”小明每一公里,都維持相同的狀態?亦即假設10筆數據(指完成時間、平均心率及步數)間為相互獨立。前面已說了,若加上這樣的假設,則便是數學而非統計題目了。總之,考試畢竟引導學習,高中生若常接觸這類題目,將難具備統計素養。

再看一道是106學年學測的單選題:

下圖是某城市在2016年的各月最低溫(橫軸)與最高溫(縱軸)的散佈圖。

https://upload.cc/i1/2021/11/14/5HUnrC.png

今以溫差(最高溫減最低溫)為橫軸且最高溫為縱軸重新繪製一散佈圖。試依此選出正確的選項。

(1)最高溫與溫差為正相關,且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強。

(2)最高溫與溫差為正相關,且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱。

(3)最高溫與溫差為負相關,且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強。

(4)最高溫與溫差為負相關,且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱。

(5)最高溫與溫差為零相關。

“大考中心”提供的答案是(4)

由所給最低溫x與最高溫y之散佈圖,不難看出(採目測近似值)最高溫y愈小時,溫差y-x愈大。如y=5時,x-12, 因而y-x= -17y=27時,x=1920y-x=87。由於是單選題,故知答案必為(3)(4)之一,因最高溫與溫差只能為負相關。至於相關性強弱之比較,就不易以如此簡單的方式看出。新的圖就不給了,不過若繪出最高溫與溫差之散佈圖,將發現此新圖,12個點大致由左上往右下散佈,即最高溫與溫差兩變數的確為負相關。另外,沿一直線散佈的情況,“感覺上”沒有原圖那麼明顯,因而判斷出最高溫與溫差的相關性,比最高溫與最低溫的相關性弱。

必須一提的是,題目所給散佈圖上的點畫得太大,在繪最高溫與溫差之散佈圖時,對緊張的考生不利就不說了。但此題之缺失並不在此,而是沒什麼統計的味道。人們對父親身高與兒子身高、入學成績與大一成績、每日最高溫與翌日清晨最低能見度、每日心血管死亡人數與當日溫差等,會想了解其相關性。另外,求一天之最高溫與最低溫的相關性,也尚可想出理由。日溫差令人感興趣,月溫差可能就較無感了。至於為什麼會去求各月份最高溫與最低溫,此二極端值之相關性,本就已不清楚了,由此進而去求各月份最高溫與溫差之相關性,便更是目的不明了。顯然只是因有了XY之相關性,便去求Y-XY之相關性。再度,這是數學思維,而非統計思維。

近年統計被大量引進高中數學課程後,應是覺得高中學生該多懂些統計。只是由上述兩道學測題目,顯示在中學數學裡,統計不過被視為一類計算簡單的數學看待,如此是無法讓學生學到正確統計概念的。與其這樣,還不如將統計移出中學數學,免得讓學生學壞了。

附錄。

統計裡引進相關係數,主要是量測兩變數間之線性相關性(linear correlation),包含強度及方向。相關係數取值介於-11間。若取正值,兩變數便稱正相關;若取負值,兩變數便稱負相關;而當相關係數為0,則稱兩變數無相關。線性關係是一很簡單的關係,加上前述符合度量需求的性質,因此不只在統計裡,在很多科學的領域,都廣被採用來量測兩變數的線性相依程度。由於是為英國統計學家皮爾生(Karl pearson1857-1936)首創,且為有別於統計裡其他不同定義的相關係數,有時稱為“皮爾生相關係數”(Pearson’s correlation coefficient,又稱Pearson’s r)

假設有兩個隨機變數XY,其共變異數(covariance) Cov(XY),與兩變數的標準差σXσY之商,便是相關係數。在此

Cov(XY)=E[(X-μX)(Y-μY)]=E(XY)- μXμY

其中μXμY,分別為XY之期望值。若以ρXY之相關係數,則

ρ=Cov(XY)/(σXσY)= E[(X-μX)(Y-μY)/(σXσY)=E[((X-μX)/σX)((Y-μY)/σY)]

由上式知,相關係數即兩隨機變數經“標準化”(減去期希望值,再除以標準差)後,乘積之期望值。由於標準化後之隨機變數,期望值為0,標準差為1,所以相關係數,可視為兩隨機變數標準化後之共變異數。兩非退化隨機變數XY,相關係數要存在,先決條件是,XY之期望值及變異數都存在。

可看出Cov(XX)=Var(X)。即自己跟自己的共變異數,就是變異數。因此共變異數的概念,乃變異數之推廣。如果變異數,是用來度量一隨機變數偏離期望值的程度,則共變異數,便能度量二隨機變數同時偏離各自期望值的程度。若X > μX時,較可能使Y > μY,且若X < μX時,較可能使Y < μY,也就是說XY,有同時增大或同時減小之傾向,則(X-μX)(Y-μY)便較可能是正的,因而它的期望值Cov(XY)也就較可能為正。反之,若較大的X,有伴隨較小的Y之傾向,且較小的X,有伴隨較大的Y之傾向,則(X-μX)(Y-μY)便較可能是負的,因而它的期望值Cov(XY),將較可能為負。也就是Cov(XY)之正負,能反映XY之增長方向,究竟傾向相同或相反。由於標準差為正值,所以相關係數與共變異數符號相同,且二者同時為0,或同時不為0。因此相關係數為正或為負,分別顯示XY之增大與減小的傾向,相同或相反。

我們說過,對二隨機變數XY,共變異數是用來度量它們同時偏離各自期望值的程度。但與變異數類似,其值與所採用的尺度有關。例如,對於父與子身高的共變異數,身高單位採用公分,與採用公尺,前者之共變異數為後者之1(=1002)倍。不過一旦除以兩標準差後,得到的相關係數,便無此困擾了。相關係數ρ,永遠取值在區間[-11]。當ρ很接近0,表XY的線性關係較弱;而當ρ很接近1,或很接近-1,表XY有較強的線性關係,或者說相關性較強;ρ較接近0時,便表XY有較弱的線性關係,或者說相關性較弱。事實上,當ρ=1,或-1XY便有完美的線性關係,或者說XY為完全相關(completely correlated)。即對二隨機變數XY,若ρ=1,則存在常數ab,其中a>0,使得Y=aX+b;若ρ=-1,則存在常數ab,其中a<0,使得Y=aX+b。曾有報導,同卵雙胞胎,若性別相同,則身高的相關係數很高,達到0.95,這乃可以預期。至於大學成績與將來收入多寡的相關係數,就不見得太高了,且說不定是負的。

另外,當XY獨立時,Cov(XY)=0,因而ρ(XY)=0。但其逆不真。也就是說,共變異數(或相關係數)0,此時兩隨機變數為無相關,但不必然獨立。甚至,二隨機變數即使無相關,也不表二者沒有關係。例如,自區間[-11]隨機地取一個點,以X表之,再令Y=X2YX的平方,二者顯然關係無比密切,一旦知道XY便完全決定了。但底下來看XY卻為無相關。因X為一對稱的隨機變數,故E(X)=0,且E(XY)=E(X3)=0,因而Cov(XY)=0,即得XY為無相關。這種例子很多,可參考一般機率論的書。仍要強調,相關係數雖說是量測二隨機變數之關連程度(degree of association),但主要是反映二隨機變數間,線性關係之強度及正負,而非反映任何其他關係。

對於數據,亦可定義其相關係數。設有(x1y1)(x2y2),…,(xnyn),且分別以̄x̄y表其平均值,則數據x’s,與y’s之相關係數,一般表示成r,定義為

r = Σni=1(xi x)(yi-̄y)/[(Σni=1(xi x)2)1/2ni=1(yi y)2)1/2]

例如,設有數據(15)(39)(47)(51)(713),則

̄x=4̄y=7,且

(1-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(7-4)2=20

(5-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(1-7)2+(13-7)2=80

(1-4)(5-7)+(3-4)(9-7)+(4-4)(7-9)+(5-4)(1-7)+(7-4)(13-7)=16

故得

r = 16/(2080)1/2=0.4

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